Fizika kursi

 

19.7 – rasm. 

 

---

 

329

4.

 

Tabiatning 

ob’yektiv 

qonuni 

deb 

qaralgan 

Geyzenberning 

noaniqliklar munosabatini ifodalang. 

5.

 

To‘lqin funksiyasi va uning statistik ma’nosini tushuntiring. 

6.

 

Vaqt  ishtirok  etmagan  turg‘un  holat  uchun  Shredinger  tenglamasini 

yozing. 

7.

 

Cheksiz  chuqur  potensial  o‘radagi  harakatlanayotgan  zarra  uchun 

Shredinger tenglamasini yozing. 

8.

 

Chiziqli garmonik ossillyator qanday model sifatida foydalaniladi? 

 

Masalalar 

73-masala.  Boshlang‘ich  tezligini  hisobga  olmaslik  mumkin  bo‘lgan 

elektron U tezlantiruvchi potensiallar farqi orqali o‘tadi. Ushbu ikki hol 

uchun 1) U

1

=51V   2) U

2

=510 kV.  De-Broyl to‘lqin uzunligi 

λ

 topilsin. 

Berilgan:       

?

~

510

,

51

2

1

λ

kV

U

V

U

=

=

 

Yechish. Zarra de-Broyl to‘lqinining uzunligi 

λ

,uning impulsi R ga 

bog‘liq va  

P

h

π

λ

2

=

          

 

 

(1) 

formula bilan aniqlanadi. 

 

Agar  zarraning  kinetik  energiyasi  Wk  ma’lum  bo‘lsa,  uning 

impulsi aniqlanadi. 

 

Norelyativistik  (W

k

<<  W

o

  da)  va  relyativistik  (W

k 

≈

  W

o

  da) 

hollar uchun impulsning kinetik energiya bilan bog‘lanishi mos ravishda 

quyidagi formulalar bilan ifodalanadi: 

к

W

m

Р

0

2

=

 , 

 

 

    (2) 

     

к

к

W

W

W

c

P

)

2

(

1

0

+

=

 .   

 

    (3) 

Norelyativistik  va  relyativistik  hollar  uchun  mos  ravishda  (2)  va  (3) 

munosabatlarni  hisobga  olganda,  (1)  formula  quyidagi  ko‘rinishda 

yoziladi: 

---

 

330

к

W

m

0

2

2

h

π

λ

=

  , 

 

 

      (4) 

     

к

к

W

W

W

с

)

2

(

1

2

0

+

=

h

π

λ

  .     

 

   (5) 

Ma’lumki,  U  tezlantiruvchi  potensiallar  farqini  o‘tgan  elektronning 

kinetik energiyasi W

k

=



 e



 U.  

Birinchi  holda  W

k1

=



  e



  U

1

=51  eV=0,51

.

10

-4

  MeV.  Bu  elektronning 

tinchlikdagi  energiyasi  W

0

=m

0

c

2

=0,51  MeV  dan  ko‘p  marta  kichik. 

Demak (4) formulani qo‘llash mumkin. 

Hisob-kitobni  qisqartirish  uchun  W

k1

=10

-4

  m

0

c

2

  ekanligini 

nazarga olamiz. 

Bu ifodani (4) formulaga qo‘yib, uni 

c

m

c

m

m

0

2

2

0

4

0

1

2

2

10

10

2

2

h

h

π

π

λ

=

⋅

=

−

 

ko‘rinishda yozib olamiz. 

[

c

m

0

2

h

π

]  Kompton  to‘lqin  uzunligi 

λ

s

  ekanligini  hisobga  olib, 

quyidagini olamiz 

s

λ

λ

)

2

/

10

(

2

1

=

. 

λ

s

=2,43

.

10

-12 

m ekanligidan 

.

172

10

43

,

2

2

10

12

2

1

nm

m

=

⋅

=

−

λ

 

Ikkinchi  holda  kinetik  energiya  Wk

2

=(e)U

2

=510  keV=0,51  MeV,  ya’ni 

elektronning  tinchlikdagi  energiyasiga  teng.  Demak,  relyativistik 

formula (5)ni qo‘llash kerak. 

 

W

2

=0,51  MeV=m

0

c

2

  ekanligini  hisobga  olib  (5)  formulaga 

binoan quyidagini topamiz 

---

 

331

c

m

c

m

c

m

c

m

с

0

2

0

2

0

2

0

2

3

2

)

2

(

1

2

h

h

π

π

λ

=

+

=

  yoki  

3

2

s

λ

λ

=

. 

λ

s  

ning qiymatini oxirgi formulaga qo‘yib va hisoblab, natijani 

topamiz: 

λ

2

=1,4pm. 

 

74-masala.  Vodorod  atomidagi  elektronning  W

k

  kinetik  energiyasi  10 

eV  ni  tashkil  etadi.  Noaniqlik  munosabatidan  foydalanib  atomning 

minimal chiziqli o‘lchamlari baholansin. 

Berilgan: 

 

?

~

min

10

l

eV

W

к

=

 

Yechish.  Elektron  koordinatasining  va  impulsining  noaniqligi  quyidagi 

munosabat orqali bog‘langan. 

h

≥

∆

⋅

∆

p

x

          

 

 

(1) 

bunda 

∆

x  –  elektron  koordinatasining  noaniqligi; 

∆

r  –  uning 

impulsining noaniqligi; 

ћ

 – Plank doimiysi. 

 

Bu  munosabatdan  ko‘rinib  turibdiki,  zarraning  fazodagi  o‘rni 

qanchalik  to‘g‘ri  o‘lchansa,  impulsi  va  demak  zarraning  energiyasi 

shunchalik  noaniq  bo‘la  boradi.  Atomning  chiziqli  o‘lchami 

l

  bo‘lsin, 

unda atom elektroni 

∆

x=

l

/2 noaniqlik soha atrofida bo‘ladi. Bu holda 

(1) noaniqlik munosabatlarini 

h

l

≥

∆

⋅

р

)

2

(

 ko‘rinishda yozish mumkin, 

bundan  

)

/(

2

р

∆

≥

h

l

        

 

 

(2) 

Fizik  mantiqqa  asosan  impulsning  noaniqligi 

р

∆

  har  holda  impuls    r 

ning qiymatidan katta bo‘lmasligi kerak, ya’ni 

 

р

р

≤

∆

 

---

 

332

 

U

(x)   

 

U 

III

 

II

 

I

 

W

 

d

 

x

 

 

19.8-rasm. 

 

Impuls  r  endi  kinetik  energiya  W

k

  bilan  quyidagi  munosabat 

orqali  bog‘langan 

к

W

m

р

2

=

 

к

W

m

ни

р

2

∆

  qiymat  bilan 

almashtiramiz (bunday almashtirish 

l

 ni orttirmaydi). (2) tengsizlikdan 

tenglikka o‘tib quyidagini olamiz 

к

W

m

2

/

2

min

h

l

=

 

Son qiymatlarni qo‘yamiz va hisoblab natijasini topamiz 

.

124

min

пм

=

l

 

75-masala. 

W=4,9 eV energiyali 

elektron  x  o‘qining  musbat 

yo‘nalishi  bo‘ylab  harakatlan-

moqda  (19.8-rasm).  Potensial 

to‘siqning  balandligi  U=5  eV. 

To‘siqning 

qanday 

d 

qalinligida,  elektronning  to‘siq  

orqali  o‘tish  ehtimolligi  E=0,2 

bo‘ladi?

 

Yechish.  Zarraning  potensial  to‘siq  orqali  o‘tish  ehtimolligi  o‘zining 

fizik ma’nosiga ko‘ra shaffoflik koeffitsienti D bilan mos keladi (W=D). 

U  holda  elektronning  to‘g‘ri  burchakli  potensial  to‘siqdan  o‘tish 

ehtimolligi quyidagi munosabat bilan ifodalanadi: 

]

)

(

2

2

[

exp

d

W

U

m

E

−

−

=

h

 ,      

 

 (1) 

bunda m – elektronning massasi. (1) ni logarifmlab, quyidagini olamiz 

d

W

U

m

nE

)

(

2

2

−

−

=

h

l

. 

Hisoblash  qulay  bo‘lishi  uchun  bu  tenglikning  har  ikki  tomonini 

ishoralarini o‘zgartiramiz va d ni topamiz 

)

(

2

2

)

(

W

U

m

Y

n

d

E

−

=

hl

. 

---

 

333

Bu  formulaga  kiruvchi  kattaliklarni  SI  birliklarida  ifodalaymiz  va 

hisoblaymiz: 

d=4,95

.

10

-10

m=0,495 nm. 

(1)  formula  taxminiy  ekanligini  va  hisob-kitob  baholash  uchungina 

qilinayotganligini nazarda tutib, d

≈

0,5 nm deb qabul qilish mumkin. 

 

Mustaqil yechish uchun masalalar 

 

221.  Elektron 

υ

=200  Mm/s  tezlik  bilan  harakatlanadi.  Elektron 

massasining  uning  tezligiga  bog‘liq ravishda  o‘zgarishi  hisobga olingan 

holda de-Broyl to‘lqin uzunligi 

λ

ni aniqlansin.  

                     (

λ

=2.7pm) 

 

222.  Agar  elektronning  kinetik  energiyasi  W

k

=1keV  bo‘lsa,  unga  mos 

keluvchi de-Broyl to‘lqin uzunligi 

λ

 topilsin. 

                        (

λ

=39pm) 

 

223.  Elektron  V=8mTl  induksiyali  bir  jinsli  magnit  maydonida  radiusi 

r=0,5sm  bo‘lgan  aylana  bo‘ylab  harakatlanmoqda.  Elektronning  de-

Broyl to‘lqin uzunligi 

λ

 aniqlansin. 

                                    (

λ

=0,1nm) 

 

224.  Ma’lumki  fazoviy  tezlik 

υ

=

ω

/k  Norelyativistik  va  relyativistik 

hollar uchun de-Broyl to‘lqini fazoviy tezligining ifodasi topilsin.  

                             













=

=

υ

υ

2

;

2

с

U

U

p

n

 

225.  W

k

=15eV  kinetik  energiyali  elektron  diametri  d=1mkm  bo‘lgan 

metallda turibdi. Elektronning tezligi aniqlanishi mumkin bo‘lgan nisbiy 

noaniqlik 

∆υ

 aniqlansin.  

 (

∆υ

/

υ

=10

-4

) 

226.  Agar  atomning  g‘alayonlangan  holatda  yashash  vaqti  (t=10

-8

s)va 

chiqaradigan  fotonning  to‘lqin  uzunligi    (

λ

=0,6mkm)  ma’lum  bo‘lsa, 

spektral chiziqning nisbiy kenligi 

∆ω

/

ω

 baholansin. 

                                                       













⋅

=

∆

−

8

10

3

ω

ω

 

 

---

 

334

227.  Vodorodsimon  atomdagi  elektron  uchun  Shredinger  tenglamasi 

yozilsin. 

 













=













+

+

∆

0

4

2

2

0

3

2

2

ψ

ε

ψ

r

П

E

h

m

l

 

 

 

228. 

Shredinger 

tenglamasining 

vaqtga 

bog‘liq 

qismi 

ψ

ψ

E

t

i

=

∂

∂

h

ko‘rinishga ega tenglamaning yechimi topilsin. 

                                                                      (

)

/

exp(

h

iEt

C

−

=

ψ

)   

 

229.  Elektron  kengligi 

nm

а

5

,

0

=

  bo‘lgan  potensial  qutida  turibdi. 

Elektron  energetika  sathlarining  eng  kichik  farqi 

∆

E  aniqlansin,  eVda 

hisoblansin.  

   (

∆

E=4.48eV) 

 

230. 

Kenligi 

а

 

bo‘lgan 

potensial 

qutidagi 

elektronga 

(

)

,......

3

,

2

,

1

=

=

n

a

n

K

π

to‘lqin  soni  to‘g‘ri  keladi.  Elektron  energiyasi 

Yening  to‘lqin  soni  Kga  bog‘lanishidan  foydalanib,  energiyaning 

xususiy qiymatlari E

n

 uchun ifoda hosil qilinsin. 

                                 

     













=

2

2

2

2

2ma

n

h

E

π

  

---

 

335