Физика курси I

х масофага силжитилган пружинали тебрангичнинг потенциал 
энергияси:
' 
е 
к)?
Е „ = ~ .
к — шот ((11.12) ифодага қ) ва д:= Л з
1
П(соо/ + а) эканлигини 
эътиборга олиб, юқоридаги тенгликни қуйидаги кўринишда ёзамиз:
£ п== ўтсо2Л25 т 2(со0< + а ). 
(11.32)
Мазкур тенглама тизим потенциал энергиясининг вақт ўтиши билан 
ўзгаришини ифодалайди.
Тезлиги нолдан фарқли бўлган барча вазиятларда массаси 
т бўлган моддий нуқтанинг кинетик энергияси ҳам нолдан фарқли, 
яъни
• 
£7 
1 
2
£ к = у тхг.
Гармониктебранма ҳаракат қилаётган моддий нуқтанингтезлиги ҳам 
гармоник тарзда ўзгаради. Шунинг учун (11.7) ифодани назарда 
тутсак, тебранаётган моддий нуқтанинг кинетик энергияси
£ к = у тсо о/42соз2(со0/ + а ) 
(11.33)
кўринишда ёзилади.
(11.32) 
ва (11.33) ифодалардан кўринадики, моддий нуктанинг 
потенциал ва кинетик энергиялари вақт ўтиши билан 0 дан
ў тсо0Л2 гача гармоник равишда ўзгаради.
Энергиянинг сакланиш қонунига кўра гармоник тебранма ҳаракат 
қилаётган моддий нуқтанинг тўла энергияси Е унинг потенциал ва 
кинетик энергияларининг йиғиндисидан иборат:
Е — Е„ +
£ к = = ў т с о о /4 2[51п2(соо/ 
+ а ) 
+ с о з 2(со0/ 
+ а)1;
20 2
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

бунда ўрта кавс ичидаги ифода, маълумки, 1 га тенг. Шундай килиб, 
гармоник тебранма ҳаракатнинг тўла энергияси
£ = = у шо) оЛ2 = соп5{ 
(11.34)
вакт ўтиши билан ўзгармайди (бу ердаги т, 
соо, 
А — каралаётган 
тизим учун ўзгармас катталиклар).
Тригонометриядан маълум бўлган
со52(о)0/ + а ) = ў (1 +со52(м0/ + а)1,
з1п2((о0^ + а ) = ^ [ 1 —со52(со0/ + а )]
формулалардан фойдаланиб, 
(11.32) 
ва 
(11.33) 
ифодаларни 
куйидаги кўринишда ёзиш мумкин:
£,, = -^- шсо0/42[1 — со5(2со0/ + 2а)],
(11.35)
£ к = —тсо0Л2[1 +со5(2со0/ + 2а) |.
(11.36)
Охирги икки формуладан кўринади- 
ки, гармоник тебранаётган моддий 
нуктанинг кинетик ва потенциал 
энергиялари ҳам вакт ўтиши билан 
гармоник конуният бўйича ўзгаради, 
лекин мазкур ўзгариш силжиш (х) га 
нисбатан икки баравар катта частота
(2соо) билан ва ўтсо^/42 амплитуда
билан содир бўлади. 11.9-расмда х, 
Еп ва Ек катталикларнинг вактга 
боғликлик эгри чизиклари келти- 
рилган (£т — тўла энергия).
Пировардида шуни таъкидлаш 
лозимки, гармоник тебранма ҳара- 
катларда энергиянинг бир турдан 
иккинчи турга (кинетик энергия по- 
тенциал энергияга ва аксинча) айла- 
нишининг ҳамда энергиянинг сакла- 
ниш конунининг яккол намоён бўли- 
шини кўрамиз.
2 0 3
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

11.8- $. АМПЛИТУДА-ВЕКТОР УСУЛИ. БИР ЙЎНАЛИШДАГИ БИР ХИЛ 
ЧАСТОТАЛИ ТЕБРАНИШЛАРНИ ҚЎШИШ
Гармоник тебранишлар кўпинча чизма равишда амплитуда- 
вектор усули билан тасвирланади ва бу усул в е к т о р д и а г р а м м а
у с у л и деб ҳам аталади. Бу усулнинг моҳияти куйидагидан иборат: 
X ўқидаги ихтиёрий 0  нуктадан узунлиги тебраниш амплитудасининг 
сон кийматига тенг бўлган А векторни шундай жойлаштирамизки 
(11.10-расм), бу вектор ОХ ўқи билан тебранишнинг бошланғич 
фазаси а га тенг бурчак ҳосил қилсин. Агар А векторни О нукта 
атрофида соат милига тескари йўналишда соо бурчак тезлик билан 
айланма ҳаракатга келтирсак, бу векторнинг X ўқидаги проекцияси 
А ва — А орасида ўзгаради. Расмдан кўринишича, / вақтдан сўнг 
унинг X ўқидаги проекцияси
х — Лсоз (соо/ + а)
бўлади, бу эса тебранувчи моддий нуқтанинг / пайтдаги с и л ж и -
ш и д и р . Шундай қилиб, соо частота билан содир бўлаётган гармоник 
тебранишни X ўқидаги ихтиёрий нуқта_атрофида соо бурчак тезлик 
билан айланувчи амплитуда вектори (А) нинг шу ўқдаги проекция- 
сининг вақт бўйича ўзгариши тарзида тасвирлаш мумкин; бунда / =
= 0 пайтдаги А векторнинг X ўқ билан ташкил килган бурчаги 
тебранишнинг бошланғич фазасини ифодалайди.
* * *
Моддий нуқта бир вақтнинг ўзида икки ва ундан ортиқ 
тебранишларда қатнашиши мумкин. Масалан, юриб кетаётган 
вагоннинг шипига пружинали тебрангични осиб ва уни мувозанат 
вазиятидан чиқариб (айтайлик х масофага пастга чўзиб) қўйиб 
юборсак, тебрангич вагоннинг шипига нисбатан тик йўналишдаги 
хусусий тебранишлардан ташқари вагон билан биргаликда тебранма 
ҳаракатда қатнашади, чунки вагоннинг ўзи ҳам темир йўлнинг 
уланган жойларидан ўтганда тик йўналишда тебранма ҳаракатга 
келади. Шундай қилиб, Ер билан боғлиқ санок тизимида пружинали 
тебрангич бир томонга уфққа нисбатан тик йўналган иккита 
тебранишда иштирок этади.
Моддий нуқта бир хил йўналиш бўйича бир хил частота, лекин 
турлича амплитуда ва бошланғич фазалар билан содир бўлаётган 
икки тебранишда қатнашаётган бўлсин. Шунга кўра бу икки 
тебраниш қонуниятлари:
Х \
= А  
1 С 0 5 ( ш о / +
а 1 )
, 
(11.37)
*2=А2С05(шо/ + а2) 
(11.38)
тарзда ифодаланиши мумкин. Ҳар икки тебранма ҳаракат бир 
йўналишда содир бўлаётганлиги туфайли натижавий тебраниш, яъни 
натижавий силжиш алоҳида силжишларнинг йиғиндисидан иборат 
эканлигини тасаввур этиш қийин эмас. Қўшилувчи тебранишларнинг 
частоталари (даврлари) бир хил бўлганлиги туфайли Т вақт
2 0 4
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

11.10-р а с м
11.11 -р а с м
ўтгандан сўнг х\ ва хч силжишлар ўзларининг дастлабки қийматлари- 
га эга бўлади. Шунинг учун тебранишларнинг (силжишларнинг) 
алгебраик йиғиндиси (х) ҳам частотаси мо га тенг бўлган даврий 
тебранма ҳаракатдан иборат бўлади, яъни
х = х \ + Х
2
= Лсоз (
о
)
о
^ + ®) • 
(11.39)
Натижавий тебранишдаги х , А, а катталикларни топиш учун юқорида 
баён этилган айланувчи амплитуда-вектор усулини қўллаймиз. Шу 
мақсадда А\ 
ва А 2 векторларни 11.11-расмда кўрсатилгандек,
X ўқидаги О нуқтадан бошлаб мос равишда а\ ва аг бурчак остида 
чизамиз. Векторларни қўшиш қоидасига асосан натижавий^тебра- 
нишларнинг амплитуда вектори (Л) — томонлари А\ ва А 2 век- 
'орлардан иборат бўлган параллелограммнинг диагоналидир. Энди, 
А | ва А 2 векторларни бир хил бурчак тезлик (соо) билан О нуқта 
атрофида соат милига тескари йўналишда айлантирсак, натижавий 
вектор А ҳам мо бурчак тезлик билан ўша йўналишда айланади, 
чунки иккала вектор бир хил бурчак тезлик билан ҳаракатланганлиги 
туфайли улар орасидаги бурчак (фазалар фарқи) а 2 — а\ вақт 
ўтиши билан ўзгармай қолади. Бундан натижавий тебраниш 
частотаси худди қўшилувчи тебранишлар частотаси каби соо га тенг, 
деган хулоса келиб чиқади. Бинобарин, А\ ва Л2 векторларнинг 
'^„Ўк,идаги пробкцнялари 
ва хг (11.37) ҳамда (11.38) қонуниятлар 
бўйича гармоник равишда ўзгаради.
А нинг қийматини топиш учун 11.11-расмдаги параллелограммга 
косинуслар теоремасини кўллаймиз:
А 2= А 2\-\-А2 — 2А\А2 
с о з
[
л
—
(а| 
—
аг)] =
= А 2\+ А 2
2 + 2А\А2 с о з ( а ,—а 2). 
(11.40)
Натижавий векторнинг бошланғич фазасини ОВИ учбурчакдан 
топамиз:
* й а =
В й
ов
/ 4 , 8 1 п а ! + Л 25 1 п а 2 
Л | С 0 5 а | + / 4 2с о 5 а 2
(П -4 1 )
2 0 5
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Шундай қилиб, бир йўналишда содир бўлаётган бир хил частотали 
иккита гармоник тебранма ҳаракатда бир вақтнинг ўзида катнаша- 
ётган моддий нуктанинг натижавий тебраниши ҳам кўшилувчи 
тебранишлар йўналишидаги ўша частотали гармоник тебранишдан 
иборат. Натижавий тебраниш (11.39) конуният билан ифодаланади, 
бунда тебраниш амплитудаси (А ) ва бошланғич фаза (а) мос 
равишда (11.40) ва (11.41) формулалар воситасида аниқланади.
(11.40) 
формула билан аникланадиган натижавий тебраниш 
амплитудаси қўшилувчи тебранишлар фазаларининг айирмаси (аг — 
— а |) га боғлиқ. Масалан, бу формулада аг — а 1 = 2 л л , (л = 0, 1, 
2,...) бўлса, кўшилувчи тебранишлар бир хил фазада содир бўлаяпти 
дейилади. Бу ҳолда (11.40) тенгликдан: