Физика курси I

Е
п 2 =
^ ^
п
’
бунда £ п| ва £ п2 — мос равишда потенциал майдоннинг биринчи ва 
иккинчи нукталаридаги жисмнинг потенциал энергиялари. У ҳолда 
жисмни й$ га кўчиришда консерватив кучларнинг бажарган иши:
Ғ й $ = - й Е п 
(6.27)
бўлади. Бу ердаги манфий ишора бажарилган иш потенциал 
энергиянинг йз йўналишида камайиши ҳисобига бўлаётганини 
билдиради. Жисмга таъсир этувчи кучнинг кўчиш йўналишига 
проекциясини Ғ8 деб белгиласак, (6.27) тенгликнинг чап томони 
куйидагича ёзилади:
Ғй$ = Ғйзсо&а = Ғ$й$.
Шундай килиб, (6.27) тенгликни куйидагича ёзиш мумкин:
Ғ3й $ =  —йЕп.
Бу тенгликдан кучнинг кўчиш йўналишига проекцияси учун 
қуйидагига эга бўламиз:
дЕ„
Г-—
И Г  
<6-28>
(бунда д/д$ белгиси 5 йўналиш бўйича олинаётган хусусий ҳосилани 
ифодалайди). Потенциал энергия (£■„) жисм вазиятининг функцияси 
бўлганлиги туфайли (6.28) муносабат фазодаги ихтиёрий йўналиш 
учун, масалан, Декарт координата ўкларининг X, V, 2 йўналишлари 
учун ҳам ўринлидир:
дЕ„ 
дЕ„
__ П_. 
р
________ П_. 
р
д х ’ 
У ~
дУ ’ 
г
Юь
Ғг=
д г
(6.29)
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

Шуни эсда тутиш керакки, (6.28) ва (6.29) формулалардаги Ғх, Ғх, Ғц 
ва Ғг кучлар потенциал майдонда жисмга таъсир этувчи консерватив 
кучларнинг мос йўналишлардаги проекцияларини ифодалайди. 
Ғ вектор унинг X, У, 2. ўқлари бўйича ташкил этувчилари орқали:
Ғ = ҒхТ-\-ҒуТ+ Ғгк
(6.30)
тарзда ифодаланишини эътиборга олсак, (6.29) га асосан (6.30) тенг- 
лик қуйидаги кўринишга эга бўлади:
Ғ =
, дЕп-г . дЕ
(6.31)
Қавс ичидаги ифода ргас!£п деб белгиланади:
_ _
дх 1~*~ ду
дЕ „ -
дЕ„
п1 + ^ к = £га<1Еп
(6.32)
ва Е„ нинг градиенти деб ўқилади. , Шунга кўра (6.31) тенглик 
қуйидагича ёзилади:
Ғ = —Я1гас1 £ п- 
(6.33)
(6.32) ва (6.33) тенгликларнинг чап томонлари вектор катталик 
бўлганликлари учун уларнинг ўнг томони ҳам вектор катталикни 
ифодалаши керак. Шундай қилиб, жисмнинг потенциал энергияси 
скаляр катталик бўлиб, унинг градиенти эса вектор катталикдир.
(6.31) ва (6.33) ифодалардаги манфий ишора Т  кучнинг йўналиши 
жисм потенциал энергиясининг камайиши томонга йўналганлигини 
билдиради. (6.28), (6.29) ва (6.33) формулалар жисмнинг потенциал 
энергияси билан унга таъсир этувчи куч орасидаги боғланишни 
ифодалайди. Охирги формула қуйидагича ўқилади: потенциал 
майдонда жисмга таъсир этувчи куч унинг потенциал энергиясининг 
тескари ишора билан олинган градиентига тенг. Бошқача айтганда, 
жисм потенциал энергиясининг градиенти, бирор йўналиш бўйича 
масофа ўзгариши билан жисм потенциал энергиясининг ўзгаришини 
кўрсатади, яъни потенциал майдонда жисмни бир нуқтадан иккинчи 
нуқтага кўчиришда унинг потенциал энергиясининг ўзгариши 
қанчалик катта бўлса, шу йўналишда жисмга таъсир қилувчи куч ҳам 
шунчалик катта бўлади.
Мисол тариқасида чўзилган 
(ёки сиқилган) 
пружинанинг 
энергияси билан унга таъсир этувчи куч орасидаги боғланишни олиб 
қарайлик. Агар пружина чўзилган ҳолатига нисбатан х узунликка 
узайган бўлса, унинг потенциал энергияси (6.22) формулага асосан
Еп = \ к +
эканлиги бизга маълум, бу ерда к қайишқоқлик коэффициенти бўлиб, 
қаралаётган пружина учун ўзгармасдир. Равшанки, чўзилган ёки 
сиқилган пружинанинг потенциал энергияси битта координатага,
107
www.ziyouz.com kutubxonasi

---

бизнинг мисодимизда х координатага боғликдир. Охирги тенгликни
(6.29) га қўйиб, кайишқоқлик чегарасигача чўзилган пружина 
томонидан таъсир этаётган консерватив куч
дЕ„
дх
д
д х
(ўйх2) = — кх
эканлигига ишонч ҳосил қиламиз; бу эса Гук қонунининг ўзгинаси- 
дир.
6.7- §. ИЧКИ МЕХАНИКАВИЙ ЭНЕРГИЯ
Бир-бири билан таъсирлашувчи бир нечта (умумий ҳолда п та) 
жисмдан иборат механикавий тизимни олиб қарайлик. Бундай 
тизимнинг ҳаракатини унинг инерция марказининг ҳаракати орқали 
тавсифлаш мумкин. Механикавий тизимнинг ҳаракати, бинобарин, 
унинг кинетик энергияси ҳар хил саноқ тизимларида турличадир. 
Тизим ҳаракатини иккита К ва К' саноқ тизимларида олиб қарайлик. 
Худди 6.4- § да кўриб ўтганимиздек К' саноқтизими X ўқига параллел 
равишда К тизимга нисбатан ўзгармас Уо тезлик билан ҳаракатлана- 
ётган бўлсин (6.3- расмга қ .). К' саноқ тизимининг координата боши 
сифатида механикавий тизимнинг инерция (масса) марказини 
танласак, у ҳолда К саноқ тизимига нисбатан механикавий тизимнинг 
ҳаракатини икки хил ҳаракатдан иборат деб қараш мумкин: 
1) механикавий тизимнинг К га нисбатан ҳаракати, яъни механика- 
вий тизим инерция марказининг К га нисбатан ҳаракати; 2) механи- 
кавий тизим таркибидаги жисмларнинг (моддий нуқталарнинг) 
инерция марказига нисбатан ҳаракати.
Шунга кўра механикавий тизимнинг энергиясини ҳар икки хил 
энергиянинг йиғиндисидан иборат деб қараш лозим бўлади: 
' 1) инерция марказининг К га нисбатан илгариланма ҳаракатидаги 
кинетик энергияси; 2) тизимнинг ички механикавий энергияси. 
Тизимнинг ички механикавий энергияси (£ п) унинг таркибидаги 
барча жисмларнинг инерция марказига нисбатан ҳаракатидаги 
(М-тизимдаги) кинетик энергия билан уларнинг ўзаро таъсир 
потенциал энергиясининг йиғиндисига тенг:
Е „ = 2 -
(6.34)
бунда 2 —+ - — тизимдаги барча жисмларнинг инерция марказига
I 
*
нисбатан ҳаракатидаги кинетик энергияларининг йиғиндиси, Еп — 
механикавий тизим жисмларининг ўзаро таъсир потенциал энергия- 
си.
6.3- § да келтирилган мулоҳазаларни такрорлаб механикавий 
тизимнинг энергияси учун қуйидаги ифодага эга бўламиз: