Fizika – matematika fakul’teti “Matematika” kafedrasi 5130100 «Matematika»

Yechish: Faraz qilaylik uchburchakning va medianalari G nuqtada kesishsin (2.1.11-chizma).Isbot qilish kerak:
1) uchburchakning uchinchi medianasi ham G nuqta orqali o’tishini;
2) uchala mediana G nuqtada uchburchak uchidan hisoblaganda nisbatda bo’linishini.


2.1.11-chizma ABC uchburchak va uning medianalari
Shartga ko’ra nuqtalar mos ravishda tomonlarning o’rtalari, shunga ko’ra

bu yerda O – ixtiyoriy nuqta. G nuqta har doim , chiziqlarga tegishli ekanligidan ushbu bo’linish munosabati kelib chiqadi.

yoki

O-ixtiyoriy nuqta bo’lgani uchun, vektorni yoyib quyidagini hosil qilamiz:

Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi, demak,

vektorlar kollinearligidan quyidagi munosabatni topishimiz mumkin:

Bu yerdan Tenglikdan G nuqta medianada yotishi va medianani C uchidan hisoblaganda nisbatda bo’lishini ko’rishimiz mumkin.
2.1.12-masala: D nuqta ABC teng yonli uchburchak AB asosining o’rta nuqtasi, DM chiziq BC tomonga perpendikulyar ( ), DM chiziqning o’rtasi. chiziqlarning perpendirulyar ekanini isbotlang.
Yechish: vektorlarni bazis vektorlar orqali quyidagicha ifodalab olamiz , (uchburchak ABC teng yonli) (2.1.12-chizma). U holda masala shartiga ko’ra,

Bu yerdan




2.1.12-chizma. Teng yonli uchburchak
vektorlarning ortogonal ekanligidan

bundan quyidagi tenglik kelib chiqadi

N nuqta DM chiziqning o’rtasi bo’lgani uchun

vektorlarning skalyar ko’paytmasini topamiz:


ekanini hisobga olsak,

Demak, vektorlarning ortogonalligidan chiziqlarning perpendikulyar ekanligi kelib chiqadi.