Федеральное агенство по образованию

Основная задача теории рядов Фурье (гармонического анализа) состоит в следующем: требуется выяснить, можно ли и при каких условиях представить произвольную периодическую функцию f(x) в виде суммы простых гармоник разной частоты.
Ответ на этот вопрос дается теоремой о разложимости функции в ряд Фурье: если периодическая функция f(x) с периодом 2π удов­летворяет условиям Дирихле, то она может быть представлена в виде равномерно сходящегося тригонометрического ряда Фурье
, (1.1)
причëм сумма членов полученного ряда S(x) равна значению функции f(x) в тех внутренних точках интервала в которых функция f(x) непрерывна. В точках разрыва функции f(x) сумма ряда Фурье равна среднему арифметическому предельных значений функции слева и справа от точки разрыва , то есть
, (1.2)
а на концах интервала сумма равна
.
Коэффициенты ряда Фурье определяются из условия ортогональ­ности тригонометрических функций и с учëтом того, что для равно­мерно сходящихся рядов допустима перестановка порядка суммирова­ния и интегрирования. Поэтому, интегрируя сначала равенство (1.1) почленно в пределах от –π до π, найдем a₀. Затем умножая обе части равенства (1.1) на и интегрируя в тех же пределах, определим a_n и аналогичным приëмом (умножая на ) находим b_n. В результате формулы для коэффициентов ряда Фурье будут иметь вид
,
, (1.3)
.
Заметим, что условиям теоремы разложимости удовлетворяет весьма широкий класс функций. Так, для разложения функции в ряд Тейлора требуется, чтобы функция была не только непрерывной, но и бесчисленное число раз дифференцируемой (так как коэффициенты ряда Тейлора выражаются через начальные значения функции и её производных), а в ряд Фурье можно разложить функцию не только непрерывную, но и имеющую точки разрыва первого рода.