Федеральное агенство по образованию

Пример. Разложить функцию y = 2 – 3x на отрезке в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных на этом отрезке функций, в качестве которых взять собственные функции задачи на собственные значения
,
предварительно проверив их на квадратичную интегрируемость и ортогональность.
Замечание. Говорят, что функция , заданная на отрезке , есть функция с интегрируемым квадратом, если она сама и еë квадрат интегрируемы на , то есть, если существуют интегралы и .
Решение. Сначала решаем задачу на собственные значения. Общее решение уравнения этой задачи будет
,
а его производная запишется в виде
.
Поэтому из граничных условий следует:

Для существования нетривиального решения необходимо принять
,
откуда следует Поэтому собственные значения параметра равны
,
а соответствующие им собственные функции с точностью до множителя будут
. (1.27)
Проверим полученные собственные функции на ортогональность на отрезке [0, 3/2]:




так как при целых . При этом
.
Следовательно, найденные собственные функции ортогональны на отрезке [0, 3/2].
Разложим заданную функцию в обобщëнный ряд Фурье по системе ортогональных собственных функций (1.27):
, (1.28)
коэффициенты которого вычисляются по (1.24):
. (1.29)
Подставляя (129) в (1.28), окончательно получим
.
1.7. Применение рядов Фурье к интегрированию дифференциальных уравнений
Рассмотрим применение рядов Фурье к интегрированию обык­новенных дифференциальных уравнений на примере краевой задачи об изгибе балки постоянного поперечного решения, различным образом закреплённой на концах.
Дифференциальное уравнение изгиба балки может быть записано в виде
, (1.30)
где y(x) – прогиб балки в произвольном поперечном сечении с абс­циссой x, – изгибная жёсткость балки (E – модуль упру­гости материала, – момент инерции поперечного сечения).
Пусть поперечная нагрузка на разных участках балки задана в виде (см. рис.1.7)

Рассмотрим два варианта граничных условий.
1). Пусть граничные условия имеют вид:
при ,
(1.31)
при .

(а) (б)
Рис.1.7.
Эти граничные условия соответствуют балке, свободно опёртой на левом конце и жестко защемлённой на правом (см. рис.1.7а).
Решение. Раcкладываем функцию q(x) в ряд Фурье по синусам на промежутке [0, l]
, (1.32)


. (1.33)
Подставляем (1.32) в уравнение (1.30)
(1.34)
и интегрируем это уравнение методом понижения порядка. Интегрируя первый раз
,
получим
.
Аналогично находим
,
.
Вновь разделяя переменные и интегрируя последнее уравнение, получим общее решение дифференциального уравнения (1.30) в виде:
. (1.35)
Для определения произвольных постоянных С₁, С₂, С₃ и С₄ подставляем решение (1.35) в граничные условия (1.31). Из первого условия при x = 0 следует
. (1.36)
Из второго условия при x = 0 находим
.
При x = l из третьего и четвертого граничных условий получим систему двух линейных алгебраических уравнений относительно произвольных постоянных С₁ и С₂
(1.37)
Разрешая систему (1.37) и учитывая то, что , находим
, . (1.38)
Подставляя значения произвольных постоянных в (1.35), получим решение краевой задачи в виде

или после подстановки и элементарных преобразований

.
При x = l/2 прогиб балки будет

.
Ограничиваясь тремя первыми членами ряда, найдём значение прогиба балки в середине пролета
.
2). Пусть балка свободно опёрта на обоих концах (рис.1.7б). Тогда граничные условия запишутся в виде:
при ,
(1.39)
при .
Решение. Для данного варианта граничных условий искомая функция y(x) может быть разложена в ряд Фурье по синусам на промежутке [0, l], равном длине балки:
, (1.40)
так как каждый член ряда (1.40) удовлетворяет всем граничным условиям (1.39).
Подставляя (1.40) в уравнение (1.30), получим
(1.41)
Далее раскладываем в ряд Фурье по синусам на промежутке [0, l], правую часть уравнения (1.41), то есть принимаем
.
При этом коэффициент для заданной нагрузки (см. рис.1.7) будет определяться по формуле (1.33). Подставляя (1.32) в (1.41), получим равенство
,
из которого следует
(1.42)
Из (1.42) с учетом (1.33) неизвестный коэффициент разложения прогиба выразится через известный коэффициент разложения нагрузки по формуле
.
Итак, решение краевой задачи (1.30), (1.39) примет вид
.
В частности, прогиб в середине пролета при x = l/2 и для n = 1 будет равен
.