Fazoning ortogonal va affin almashtirishlari

FAZONING ORTOGONAL VA AFFIN ALMASHTIRISHLARI
Ortogonal almashtirish deb, to'g'ri burchakli koordinatalarning dekart sistemasida fazoning har bir M(x,y,z) nuqtasiga uning koordinatalari bilan chiziqli bog'langan M' (x',y',z') nuqtani mos keltiradigan almashtirishga aytiladi:
(1)
Bu yerda M nuqta bilan unga mos M' (x',y',z') nuqta koordinatalari bitta sistemada olinadi, deb faraz qilinadi. Ushbu
(2)
matritsa ortogonal, ya'ni
(3)
(3) sistema quyidagi sistemaga ekvivalent
(3')
Ortogonal matritsani transponirlanganini teskarisiga teng matritsa sifatida aniqlash mumkin:

yoki

(1) munosabatdagi parametrlar quyidagi geometrik ma'noga ega: birlik vektor vektorning; birlik vektor esa
ga ortogonal, va vektorning; birlik vektor
vektorlarga ortogonal, va vektorning qaralayotgan (1) ortogonal
almashtirishdagi obrazi. esa koordinatalar boshi O ning obrazi.
Ortogonal almashtirish o'zaro bir qiymatlilik xususiyatiga ega bo'lib, nuqtalar orasidagi masofani, to'g'ri chiziqlar orasidagi burchakni saqlaydi, nuqtalarning kollinearligini (bitta to'g'ri chiziqda yotishini), to'g'ri chiziqlarning va tekisliklarning parallelligini, to'g'ri chiziq bilan tekislikning paralleligini saqlaydi.
Ikki nuqta orasidagi masofani saqlaydigan har qanday almashtirish ortogonal bo'ladi, ya'ni u (1) ko'rinishdagi munosabatlar bilan ifodalanib, matritsasi esa ortogonal bo'ladi.
Fazoning barcha ortogonal almashtirishlari gruppa tashkil qiladi.
Fazo oriyentatsiyasini saqlaydigan ortogonal almashtirsh birinchi turdagi almashtirish deyiladi. Fazo oreantasiyasini o'zgartiradigan almashtirish ikkinchi turdagi almashtirish deyiladi. Birinchi turdagi ortogonal almashtirishda (2) matritsaning determinanti 1 ga teng:

Ikkinchi turdagi almashtirshda esa bu determinant -1 ga teng: Quyidagi

almashtirish (parallel)