Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar “ kafedrasi

n_y

15	5	7	–	–	–	–	12
25	–	20	23	–	–	–	43
35	–	–	30	47	2	–	79
45	–	–	10	11	20	6	47
55	–	–		9	7	3	19
nx	5	27	63	67	29	9	n=200

Shartli variantalar bo`yicha korrelyasion jadval tuzamiz. Bu amalda bunday bajariladi: birinchi ustunda eng katta chastotaga ega bo`lgan varianta (35) o`rniga 0, nolning tepasiga ketma-ket —1, —2, nolniyag tagiga 1,2 yoziladi. Birinchi satrda eng katta chastotaga ega bo`lgan varianta (40) o`rniga 0, noldan chapda ketma-ket —1, —2,—3, noldan o`ngda 1,2 yoziladi. Qolgan barcha ma’lumotlar dastlabki korrelyasion jadvaldan ko`chirib yoziladi. Natijada shartli variantalar bo`yicha 19- korrelyasion jadvalni hosil kilamiz.

σ_uva σ_v kattaliklarni ko`paytmalar metodi bilan topish mumkin; ammo u<sub>i</sub> va v<sub>i</sub> lar kichik bo`lgani uchun va ni o`rtacha qiymat ta’rifiga asoslanib, σ_uva σ_vva 6, ni esa ushbu formulalardan foydalanib xisoblaymiz;
,
va ni topamiz:

Yordamchi miqdorni, keyin esa σ_u ni hisoblaymiz

Shunga o`xshash σ_v=1,209 ni hosil qilamiz.

ni to`rt maydon usuli bilan topamiz, buning uchun
6- hisoblash jadvalini tuzamiz.
5-jadval

u v	-3	-2	-1	0	1	2	nv
-2	5	7	–	–	–	–	12
-1	–	20	20	–	–	–	43
0	–	–	30	47	2	–	79
1	–	–	10	11	20	6	47
2	–	–		9	7	3	19
nu	5	27	63	67	29	9	n=200

6-jadval

	-3			-2					-1					0			1				2				1			II
–2		6			4		–								–				–				58			–
	5			7
–1	–					2				1						–				–				63			–
				20					23
0																									III			IV
1	–			–							–1							1				2		–10			32
									10								20				6
2	–			–					–									2				4		–			26
																	7				3
1	30			68					23					III			–				–				121			–
III	–			–					–10					IV			34				24				–10			58

Yakuniy kataklardagi (6- jadvalning pastki o`ng burchagidagi 4 ta katak) sonlarni qo`shamiz:

Izlanayotgan korrelyasiya kozffisentini topamiz:

Shunday qilib,

1.4. Tanlanma korrelyasion nisbat
Tanlanmada belgilar orasidagi chiziqli korrelyasion bog`lanish zichligini baholash uchun tanlanma korrelyasiya koeffisienti xizmat qiladi. Nochiziqli korrelyasion bog`lanish zichligini baholash uchun quyidagi yangi yig`ma xarateristikalar kiritiladi:
— Y ning X ga tanlanma korrelyasion nisbati;
— Y ning X ga tanlanma korrelyasion nisbati.
Y ning X ga tanlanma korrelyasion nisbati deb, gruppaaro o`rtacha kvadratik chetlanishning umumiy o`rtacha kvadratik chetlanishga nisbatiga aytiladi:

yoki, belgilasak,

bu yerda


bu yerda l — tanlanma hajmi (barcha chastotalar yig`indisi);
– X belgi x qiymatining chastotasi;
– Y belgi y qiymatining chastotasi;
– Y belgining umumiy o`rtacha qiymati,
– belgining shartli o`rtacha qiymati.
X ning Y ga tanlanma korrelyasion nisbati shunga o`xshash aniqlanadi:

Misol, 7- korrelyasion jadval ma’lumotlari bo`yicha ni toping. 7- jadval.

X y	10	20	30
15	4	28	6	38
25	6	–	6	12
	10	28	12
	21	15	20

Yechilishi. Umumiy o`rtacha qiymatni topamiz:

Umumiy o`rtacha kvadratik chetlanishni topamiz:

Gruppaaro o`rtacha chetlanishni topamiz:

Izlanayotgan korrelyasion nisbat:

Tanlanma korrelyasion nisbatning xossalari
qanday xossalarga ega bo`lsa, ham shu xossalarga ega bo`lgani uchun faqat nisbatning xossalarini sanab o`tamiz va yozuvni soddalashtirish maksadida keyin uni deb belgilaymiz hamda aytishga oson bo`lishi uchun “korrelyasion nisbat” deymiz.
1. Korrelyasion nisbat ushbu qo`sh tengsizlikni qanoatlantiradi:

Isbot. manfiy bo`lmagan sonlar— (gruppaviy va umumiy) o`rtacha kvadratik chetlanishlarning nisbati ekanligidan kelib chiqadi.
tengsizlikni isbotlash uchun

formuladan foydalanamiz. Bu tenglikning ikkala qismini ga bulamiz:

yoki

Ikkala qo`shiluvchi ham manfiymas va ularning yig`indisi birga teng bo`lgani uchun har biri ham birdan ortiq bo`lmaydi, xususan

ekanligini e’tiborga olib, bunday xulosaga kelamiz:

2. Agar bo`lsa uholda Y belgi ham X belgi bilan korrelyasion bog`lanish bilan bog`lanmagan.
Isboti. Shartga ko`ra

bu yerdan

va demak.

Gruppaaro dispersiya shartli (gruppaviy) o`rtacha qiymatlarning umumiy o`rtacha qiymatga nisbatan dispersiyasidir.
Gruppaaro dispersiyaning nolga tengligi shartli o`rtacha qiymatlar X belgining barcha qiymatlarida (umumiy o`rtacha qiymatga teng bo`lgan) o`zgarmas qiymatini saqlashini bildiradi. Boshqacha so`z bilan aytganda, bo`lganda hartli o`rtacha qiymat X ning funksiyasi emas, va demak, Y belgi X belgiga korrelyasion bog`lanish bilan bog`lanmagan.
1-eslatma. Teskari da’voni ham isbotlash mumkin: agar Y belgi X belgiga korrelyasion bog`lanish bilan bog`lanmagan bo`lsa, u holda .
3. Agar bo`lsa, u holda Y belgi X belgiga funksional bog`lanish bilan bog`langan.
Isboti. Shartga ko`ra

Bu erdan

Bu tenglikning ikkala tomonini kvadratga ko`tarib,
(*)
ni hosil qilamiz. bo`lgani uchun (*) ga ko`ra
(**)
Gruppaichi dispersiya gruppaviy dispersiyalarnivg (gruppalarning hajmlari bo`yicha vazniy) arifmetik o`rtacha qiymati bulgani uchun (**) dan har bir (Y ning
X ning tayin qiymatiga mos qiymatlarining) dispersiya nolga tengligi kelib chiqadi. Bu esa har bir gruppada Y ning teng qiymatlari borligini, yani X ning har bir qiymatiga Y ning bitta kiymati mos kelishini anglatadi. Demak, bo`lganda Y belgi X belgiga funksional bog`lanish bilan bog`langan.
2-eslatma. Teskari da’voni ham isbotlash mumkin: agar Y belgi X belgiga funksional bog`lanish bilan bog`langan bo`lsa, u holda .
Yana ikkita da’voni isbotsiz keltiramiz:
4. Tanlanma korrelyasion nisbat tanlanma korrelyasion koeffitsiyentining absolyut qiymatidan kichik emas:

5. Agar tanlanma korrelyasion nisbat tanlanma korrelyasiya koeffisientining absolyut qiymatiga teng bo`lsa, u holda aniq chiziqli bog`lanish o`rinli bo`ladi.
Boshqacha so`z bilan aytganda, agar bo`lsa, u holda … nuqtalar eng kichik kvadratlar metodi bilan topilgan regressiya to`g`ri chizig`ida yotadi.