Fanning o‘quv-uslubiy majmuasi o‘quv reja va namunaviy o‘quv dasturiga muvofiq ishlab chiqildi

Хисоблаш математикасининг предмети ва методи


Асосий саволлар

1. 
   Хисоблаш математикаси таърифи.
   
2. 
   Хисоблаш математикаси фанининг асосий вазифалари.
   

Таянч иборалар: Хисоблаш математикаси, Оператор, функционал тури ва тескари масала.

Математика турмуш масалаларини ечишга булган эхтиёж (юзлар ва хажмларни улчаш, кема харакатини бошкариш, юлдузлар харакатини кузатиш ва бошкалар) туфайли вужудга келганлиги учун хам у сонли математика, яъни хисоблаш математикаси булиб, унинг максади эса масала ечимини сон шаклида топишдан иборат эди. Бу фикрга ишонч хосил килиш учун математика тарихига назар ташлаш кифоядир.

Вавилон олимларининг асосий фаолияти математик жадваллар тузишдан иборат булган. Шу жадваллардан бизгача етиб келганларидан бири милоддан 2000 йил аввал тузилган булиб, унда 1 дан 60 гача булган сонларнинг квадратлари келтирилган. Милоддан аввалги 747-йилда тузилган бошка бир жадвалда Ой ва Куёшнинг тутилиш вактлари келтирилган. Кадимий мисрликлар хам фаол хисобчилар булганлар. Улар мураккаб (аликвота ёки Миср касрлари деб аталувчи) касрларни сурати бирга тенг булган оддий касрлар йигиндиси (масалан: ) шаклида ифодаловчи жадваллар тузишган ва чизикли булмаган алгебраик тенгламаларни ечиш учун ватарлар усулини яратишган. Грек математикларига келсак, милоддан 220-йиллар атрофида Архимед сони учун тенгсизликнинг курсатди. Героннинг милоддан авалги 100-йиллар атрофида ушбу итерацион методдан фойдаланганлиги маълум. Диофант III-асрда аникмас тенгламаларни ечишдан ташкари квадрат тенгламаларни сонли ечиш усулини яратган.
IX асрда яшаган буюк узбек математиги Мухаммад ибн Мусо ал-Хоразмий хисоблаш методларини яратишга катта хисса кушган. Ал-Хоразмий кийматни аниклайди, математик жадвалларни тузишда фаол катнашди. Абулвафо ал-Бузжоний 960-йилда синуслар жадвалини хисоблаш методини ишлаб чикди ва нинг кийматини тўққизта ишончли раками билан берди. Бундан ташкари, у „tg” функциясидан фойдаланди ва унинг кийматлари жадвалини тузди. XVII асрда инглиз математиги Ж.Непер (1614, 1619), щвециялик Й.Бюрги (1620), инглиз Бригс (1617), голландиялик А.Влакк (1628) ва бошкалар томонидан яратилган логарифмик жадваллар Лаплас сузи билан айтганда «…Хисоблашларни кискартириб, астрономларнинг умрини узайтирди».
Нихоят, 1845 йилда Адамс ва 1846 йилда Леверьеларнинг хисоблашлари натижасида Нептун сайёрасининг мавжудлиги ва унинг фазодаги урнини олдиндан айтишлари хисоблаш математикасининг буюк галабаси эди. Тадбикий масалаларини сонли ечиш математиклар эътиборини доим узига тортар эди. Шунинг учун хам утган замоннинг буюк математиклари уз тадкикотларида табиий жараёнларини урганиш, уларнинг моделларини тузиш ва моделларини тадкик этиш ишларини бирга кушиб олиб боришган. Улар бу моделларни текшириш учун махсус хисоблаш методларини яратишган. Бу методларниг айримлари Ньютон, Эйлер, Лобачевский, Гаусс, Чебишев, Эрмит номлари билан богликдир. Бу шундан далолат берадики, хисоблаш методларини яратишда уз замонасининг буюк математиклари шугулланишган.
Шуни хам айтиш керакки, лимитлар назарияси яратилгандан сунг математикларнинг асосий диккат-эътибори математик методларга катъий мантикий замин тайёрлашга, бу методлар кулланиладиган объектлар сонини ортиришга, математик объектларни сифат жихатдан урганишга каратилган эди. Натижада математиканинг жуда мухим ва айни пайтда купинча кийинчилик тугдирадиган сохаси: математик тадкикотларни сунги сонли натижаларгача етказиш, яъни хисоблаш методлари яратишга кам эътибор берилар эди, бу соха эса математиканинг тадбиклари учун жуда зарурдир.
Математиканинг хозирги замон фан ва техникасининг хилма-хил сохаларидаги тадбикларида, одатда, шундай типик математик масалаларга дуч келинадики, уларни классик методлар билан ечиш мумкин эмас ёки ечиш мумкин булган такдирда хам ечим шундай мураккаб куринишда буладики, ундан самарали фойдаланишнинг иложи булмайди. Бундай типик математик масалаларга алгебра (одатда тартиби жуда катта булган чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечиш), математик анализ (сонли интеграллаш ва дефференциаллаш, функцияни якинлаштириш масалалари) хамда оллий ва хусусий хосилали дифференциал тенгламаларни ечиш масалалари ва бошкалар киради.
Фан ва техниканинг жадал равишда ривожланиши, атом ядросидан фойдаланиш, учувчи аппаратлар (самолёт, ракета) ни лойихалаш, космик учиш динамикаси, бошкариладиган термоядро синтези муаммоси муносабати билан плазма физикасининг урганиш ва ухшаш куп масалаларни текшириш ва ечишни катозо килмокда. Бундай масалалар уз навбатида математиклар олдига янгидан-яги хисоблаш методларини яратиш вазифасини куяди. Иккинчи томондан фан ва техника ютуклари математиклар ихтиёрига кучли хисоблаш воситаларини бермокда. Бунинг натижасида эса мавжуд методларни янги машиналарда куллаш учун кайтадан куриб чикиш эхтиёжи тугилмокда.
Математикада типик математик масалаларнинг ечимларини етарлича аникликда хисоблаш имконини берувчи методлар яратишга ва шу максадда хозирги замон хисоблаш воситаларидан фойдаланиш йулларини ишлаб чикишга багишланган соха хисоблаш математикаси дейилади.
Хозирги замон хисоблаш математикаси жадал ривожланиб бормокда. Хисоблаш математикаси камраган масалалар тури жуда куп. Табиийки, бу масалаларни ечиш методлари хам хилма-хилдир, шунга карамай бу методларнинг умумий гояси хикида суз юритиш мумкин. Бунинг учун аввал функционал анализга тегишли булган айрим тушунчаларни келтирамиз. Агар бирор тупламда у ёки бу йул билан лимит тушунчаси келитирлган булса, у холда бу туплам абстрак фазо дейилади.
Элементлари кетма-кетликлардан ёки функциялардан иборат булган фазо функционал фазо дейилади. Бирор функционал фазони иккинчи бор функционал фазога акслантирадиган амал оператор дейилади. Агар операторнинг кийматлари ташкил этилган фазо сонли фазо булса, у холда бундай оператор функционал дейилади.
Хисоблаш математикасида учрайдиган куп масалаларни
(1)
шаклида ёзиш мумкин, бу ерда ва берилган ва функционал фазоларнинг элементлари булиб, -оператор ёки хусусий холда функционалдир. Агар оператор ва элемент хакикий маълумот берилган булса, ни топиш лозим булса, бундай масала тугри масала дейилади. Аксинча, ва хакида маълумот берилган булиб, ни топиш керак булса, бундай масала тескари масала дейилади. Одатда, тескари масалани ечиш анча мураккабдир. Бу масалалар хар доим хам аник ечилавермайди. Бундай холларда хисоблаш математикасига мурожаат килинади.
Баъзан масалани аник ечиш хам мумкин, лекин классик математика методлари билан керакли сонли киймат олиш учун жуда куп хисоблашлар талаб килинади. Шунинг учун хам хисоблаш математикаси зиммасига конкрет масалаларни ечиш учун окилона ва тежамкор методлар ишлаб чикиш юкланади (масалан, чизикли алгебраик тенгламалар системасини ечишда Крамер формулаларига нисбатан Гаусс методи анча тежамкор методдир.)
Хисоблаш математикасида юкоридаги масалаларни хал килишнинг асосий мохияти , фазоларни ва -операторни хисоблаш учун кулай булган мос равишда бошка , фазолар ва оператор билан алмаштиришдан иборатдир. Баъзан факат ва фазолар ёки факатгина улардан бирортасини, баъзан эса факат операторни алмаштириш кифоядир. Бу алмаштиришлар шундай бажарилиши керакки, натижада хосил булган янги

масаланинг ечими бирор маънода берилган (1) масаланинг ечимига якин булсин ва бу ечимни нисбатан куп мехнат сарфламасдан топиш мумкин булсин.
Бунга мисол сифатида шуни курсатиш мумкинки, одатда математик физика тенгламалари у ёки бу структурага эга булган алгебраик тенгламалар системасига келтирилиб ечилади.
Демак хисоблаш математикаси олдидаги асосий масала функционал фазоларда тупламларни ва уларда аникланган операторлар (функционаллар) ни якинлаштириш хамда хозирги замон хисоблаш машиналари кулланиладиган шароитда масалаларни ечиш учун окилона ва тежамкор алгоритм ва методлар ишлаб чикишдан иборатдир.