Fan va texnikaning, xususan, iqtisodiyot muammolarini tahlil qilishda

1-misol. 1, x,..., xm1 x  (a,b) funksiyalar chiziqli erkli. ►

2-misol. ek1x , ek2 x ,..., ekm x x  (a,b) funksiyalar chiziqli erkli. Bu erda

k1,..., km  turli sonlar. ►

3-misol. ekx , xekx ,..., xm1ekx x  (a,b) funksiyalar chiziqli erkli. ►

Agar chiziqli erkli y1  x,..., yn (x) funksiyalar n  tartibli differensial

tenglamalar sistemasining

yechimlari

bo`lsa,

u

holda

bu

funksiyalarni

fundamental

yechimlar

sistemasi

deb

ataymiz.

Agar

chiziqli

erkli

y1  x,..., yn (x) funksiyalar n  tartibli differensial tenglamalar sistemasining

fundamental yechimlar sistemasi bo`lsa, u holda bu funksiyalarning har qanday chiziqli kombinatsiyasi ham tenglamaning yechimi bo`ladi.

Masalan, y1  sin x; y2  cos x funksiyalar y  y  0

yechimlaridir.

Bu funksiyalardan tuzilgan Vronskiy aniqlovchisi:

tenglamaning

y1

y

y2

y

sin x

cos x

cos x

 sin x



 1.

1

2

Demak, y1  x  va y2  x  chiziqli erkli. U holda

y  x  C1 sin x  C2 cos x

funksiya ham y  y  0 tenglamaning yechimi hisoblanadi.

Agar y1 (x), y2 (x) (5) tenglamaning fundamental yechimlar sistemasi

bo`lsa, u holda

y  x  C1 y1 (x)  C2 y2 (x)

funksiya (5) tenglamaning umumiy yechimi bo`ladi.

Ikkinchi tartibli o`zgarmas koeffitsientli bir jinsli (5) tenglama fundamental

yechimlari sistemasini qurish usuli bilan tanishamiz. Bu usilni ixtiyoriy

n  tartibli o`zgarmas koeffitsientli bir jinsli tenglama uchun qo`llash mumkin.

(5) tenglama xususiy yechimini y  e x   const ko`rinishida qidiramiz.

Funksiyani ikki marta differensiallab,

y    e x ,

y    2e x

tengliklarni olamiz. Funksiya va uning hosilalarini (5) tenglamaga qo`ysak,

 2  p  q   e x  0

e x

tenglama hosil bo`ladi.

 0 (har doim musbat) ekanligini hisobga olsak,

oxirgi tenglamaga teng kuchli

 2  p  q  0

(8)

tenglamani olamiz.

(8) algebraik tenglamaga (5) differensial

tenglamasi deyiladi.

(5) tenglamaning fundamental yechimlari

tenglamaning xarakteristik

sistemasi (8) tenglamaning

ildizlari bilan bog`liq. Shu sababli umumiy yechimni tuzishning xarakteristik

tenglama yechimlari bilan bog`liq barcha hollarini ko`rib chiqamiz: