Евклидовы пространства. Построение ортонормированного базиса в Евклидовом пространстве

Замечание 2. В любом евклидовом пространстве можно построить много ортонормированных базисов. Примером ортонормированного базиса в с обычным скалярным произведением могут служить вектора

Рассмотрим произвольный ортонормированный базис -мерного евклидова пространства . Пусть − произвольный вектор и
.
Умножая обе части равенства скалярно на получим:
,
т.е. координаты произвольного вектора относительно ортонормированного базиса равны скалярным произведениям этого вектора на соответствующие базисные векторы. Поскольку скалярное произведение на вектор , естественно назвать проекцией на , то, следовательно, координаты произвольного относительно ортонормированного базиса равны проекциям этого элемента на соответствующие базисные элементы.
Таким образом, ортонормированный базис похож на декартовый прямоугольный базис.
3. Выражение скалярного произведения через компоненты сомножителей. Матрица Грама.
Пусть в произвольном евклидовом пространстве задан базис . Это позволяет представить в виде . Вычислим скалярное произведение :
.
Отсюда следует, что если базис − ортонормированный, то есть , то
.
Теорема 5. В ортонормированном базисе скалярное произведение любых двух векторов равно сумме произведений соответствующих координат этих векторов.
Если же базис { } − произвольный, то произведения обозначим и введем в рассмотрение квадратную матрицу
= = ,

называемую матрицей Грамма базиса { }. В силу коммутативности скалярного произведения , т.е. матрица Грама симметрическая.

Обозначим = , . Тогда скалярное произведение можно переписать в матричном виде:
.
Если { } − ортонормированный, то и .
Рассмотрим два базиса { } и { }, связанные при помощи матрицы перехода : если и , т.е. . Тогда для базиса { } матрица Грама имеет вид:

.

(5)

Эта формула даёт связь между матрицами Грама для двух связанных между собой базисов. Равенство (5) в матричном виде имеет вид:

,

(6)

что легко проверить прямыми вычислениями.
Рассмотрим последнюю формулу в частном случае, когда { } – ортонормированный. Тогда и формула (6) имеет вид:
Г =
вычисляя определитель в силу теоремы об определителе произведения матриц, имеем:
detГ = det( ) det = (det ) .
Так как { } – произвольный базис // т.к. det 0 //