Евклидовы пространства. Построение ортонормированного базиса в Евклидовом пространстве

Теорема 6. Определитель матрицы Грама любого базиса положителен.
Эта теорема может быть усилена:
Теорема 7. Пусть ,…, − произвольные (не обязательно линейно независимые) вектора в евклидовом пространстве. Тогда определитель матрицы
,

составленной из попарных скалярных произведений, положителен, если вектора линейно независимы, и равен нулю, если они линейно зависимы.

Доказательство: Первое утверждение теоремы следует из теоремы 6, т.к. если ,…, − линейно независимы, то они образуют базис в своей линейной оболочке.
Докажем второе утверждение. Если векторы – линейно зависимы, то выполнено равенство , где хотя бы одно . Умножая это равенство скалярно на каждый из векторов получим систему уравнений
,
которой удовлетворяет ненулевое решение определитель матрицы этой системы равен нулю.■
Замечание. Доказанная теорема обобщает неравенство Коши–Буняковского, которое имеет место при .
4˚. Ортогональное дополнение к линейному подпространству.
Определение 9. Два множества и векторов евклидова пространства называются ортогональными, если каждый вектор первого множества ортогонален к каждому вектору второго.
В частности, будем говорить, что вектор ортогонален к множеству , если ортогонален каждому .
Ортогональность и обозначается .
Лемма 3. Если два множества и ортогональны, то их пересечение либо пусто, либо состоит только из нулевого вектора.
Доказательство: На самом деле, если и . ■
Следствие. Сумма ортогональных подпространств всегда является прямой суммой.
Доказательство: Это следует из того, что их пересечение в силу леммы 3 состоит только из нулевого вектора сумма прямая. ■
Пусть – подпространство евклидового пространства.
Определение 10. Ортогональным дополнением подпространства E называется множество всех векторов, перпендикулярных каждому вектору из .
Ортогональное дополнение к обозначается .
Очевидно, что – линейное подпространство; на самом деле, если , а , то ( u+ v,w) = (u,w)+ (v,w) = О u + v U ,что и требовалось доказать.