Евклидовы пространства. Построение ортонормированного базиса в Евклидовом пространстве

Определение 3. Для любых принадлежащих евклидовому пространству определен угол между ними: .
Определение 4. Элементы называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю, то есть . Тогда .
Очевидно, что если ортогонален , то ортогонален .
Лемма 1. Нулевой вектор ортогонален любому вектору из и является единственным вектором, обладающим этим свойством.
Доказательство самостоятельно.
Определение 5. Сумму двух ортогональных векторов назовем гипотенузой треугольника, построенного на векторах .
Лемма 2. Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Доказательство: .■
Обобщение. Если − взаимно ортогональны 
.
Определение 6. Система векторов евклидова пространства называется ортогональной, если она либо состоит из одного вектора, либо её векторы попарно ортогональны.
Теорема 3. Всякая ортогональная система ненулевых векторов евклидова пространства является линейно независимой.
Доказательство: Пусть − ортогональная система векторов и пусть

с некоторыми постоянными .
Умножая это равенство скалярно на , получаем
Т.к.
все − линейно независимы. ■
Определение 7. Ортогональная система, состоящая из векторов единичной длины, называется ортонормированной.
Определение 8. В –мерном евклидовом пространстве система ортонормированных векторов образует ортонормированный базис.
Теорема 4. Во всяком –мерном евклидовом пространстве существует ортонормированный базис.
Доказательство: Т.к. пространство − –мерное, то существуют векторов , которые линейно независимы. Покажем, что можно построить и векторы , получающиеся как линейные комбинации , которые образуют ортонормированный базис. Доказательство методом математической индукции:
Если − очевидно, т.к.
Пусть удалось построить векторов , которые попарно ортогональны, их нормы равны единице, и получены как линейные комбинации . Будем искать вектор . Выберем так, чтобы был ортогонален . Умножая скалярно на , в силу ортонормированности имеем:
 //т.к. // 
Очевидно, что полученный , т.к. он является линейной комбинацией   система − ортонормированная и получена как линейная комбинация . ■
Замечание 1. В доказательстве теоремы 4 использовался следующий алгоритм ортогонализации системы векторов, известный как алгоритм Грамма–Шмидта:
пусть − линейно независимы. Тогда попарно ортогональные единичные вектора получаются по следующим формулам:

(4)