Элементы математической статистики

1.8. ОЦЕНКА СУЩЕСТВЕННОСТИ РАЗЛИЧИЙ
ВЫБОРОЧНЫХ СРЕДНИХ
Пусть с целью исследования влияния двух факторов на урожай проводились полевые опыты из двух серий по п делянок. Получены следующие результаты: средний урожай и (ц/га) и исправленные средние квадратические отклонения s₁ и s₂. Как установить, является ли расхождение случайным, или оно обусловлено влиянием изучаемых факторов? В первом случае расхождение называется несущественным, а во втором различие существенно. Следует иметь в виду, что ответ не может быть строго определенным, он либо будет верен с некоторой вероятностью g, либо ошибочен с вероятностью р = 1 — g, называемой уровнем значимости.
Составим случайную величину
(1)
где , п – объем выборки (число делянок в серии). Доказано, что случайная величина Т имеет t – распределение Стьюдента, для которого составлены таблицы.
Случайная величина Т зависит от числа степеней свободы v = 2(п – 1) и уровня значимости р. По заданному р и числу степеней v находится t теоретическое.
По формуле (13.8.1) находят t практическое:

Если t_пр < t_теор, то с вероятностью ошибки, равной р, считают, что расхождение между средними незначимо, и влияние факторов на урожайность существенным признать нельзя. Если, t_пр ≥ t_теор, то расхождение между средними выборочными существенно, оно объясняется влиянием изучаемых факторов.
Если объем выборочных совокупностей неодинаков, то используют более сложные формулы, которые можно найти в подробных курсах (например, [8]).
Пример. В результате полевых испытаний выращен урожай двух сортов картофеля: «Приекульский ранний» и «Дружба». Отобрано по 25 клубней каждого сорта. Результаты взвешивания таковы: выборочное среднее значение и исправленное среднее квадратическое отклонение массы одного клубня сорта «Приекульский» равны = 65 г, s₁ = 15 г, для сорта «Дружба» = 90 г, s₂ = 20г.
На уровне, значимости р = 0,05 проверить существенность различий выборочных средних.
Решение. Находим


Число степеней свободы р = 2(25 – 1) = 48. Далее получаем t_теор = 2,01, т.е. t_пр > 1_теор. Расхождение существенно. Принимается утверждение, что обе выборки сделаны из разных генеральных совокупностей, т. е. влияние сорта значимо.