Элементы математической статистики

Доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения σ_x в случае нормального распределения.
Теорема. Пусть известно, что случайная величина имеет нормальное распределение. Тогда для оценки параметра σ_х этого закона имеет место равенство
(12)
где γ – доверительная вероятность, зависящая от объема выборки п и точности оценки β.
Функция γ = Ψ (n, β) хорошо изучена. С ее помощью определяют β = β(γ,п). Для β = β(γ,п) составлены таблицы, по которым по известным п (объему выборки) и γ (доверительной вероятности) определяется β.
Пример. Для оценки параметра нормально распределенной случайной величины была сделана выборка (дневной удой 50 коров) и вычислено s = 1,5. Найти доверительный интервал, накрывающий с вероятностью γ = 0,95.
Решение. По таблице β(γ, п) для n = 50 и γ = 0,95 находим β = 0,21 (см. Приложение 6).
В соответствии с неравенством (13) найдем границы доверительного интервала. Имеем
1,5 – 0,21·1,5 = 1,185; 1,5 + 0,21·1,5 = 1,185;
1,185 < σ < 1,185.
Нахождение объема выборочной совокупности.
Формула

связывает δ (точность оценки), доверительную вероятность и объем выборки. Зная две из этих величин, можно найти третью. Важной является задача определения объема выборочной совокупности n при заданной доверительной вероятности γ и заданном доверительном интервале, определенном точностью δ. Как найти такой минимальный объем выборки n, чтобы оцениваемый параметр накрывался доверительным интервалом с заданной вероятностью γ? Обозначим тогда

Здесь σ(Х) – среднее квадратическое отклонение, t – значение независимой переменной в функции Лапласа, для которой
Пример. Высота стебля кукурузы X – случайная величина, имеющая нормальное распределение. Сколько необходимо отобрать растений, чтобы отличалось от М(Х) меньше чем на 2 см, если известно, что по результатам предыдущих измерений σ(Х) = 6см. Результат найти с надежностью γ – 0,95.
Решение. Имеем γ = 0,95, Ф(t) = 0,475, t = 1,96

Таким образом, n ≥ 35