Элементы математической статистики

1.6. СТАТИСТИЧЕСКИЕ ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
Оценки математического ожидания и дисперсии.
С понятием параметров распределения мы познакомились в теории вероятностей. Например, в нормальном законе распределения, задаваемом функцией плотности вероятности

параметрами служат а – математическое ожидание и а – среднее квадратическое отклонение. В распределении Пуассона параметром является число а = пр.
Определение. Статистической оценкой неизвестного параметра теоретического распределения называют его приближенное значение, зависящее от данных выборки (х₁, х₂, х₃, ..., х_k; п₁, п₂, п₃,..., п_k), т. е. некоторую функцию этих величин.
Здесь х₁, х₂, х₃, ..., х_k – значения признака, п₁, п₂, п₃,..., п_k –соответствующие частоты. Статистическая оценка является случайной величиной.
Обозначим через θ – оцениваемый параметр, а через θ* – его статистическую оценку. Величину |θ*–θ| называют точностью оценки. Чем меньше |θ*–θ|, тем лучше, точнее определен неизвестный параметр.
Чтобы оценка θ* имела практическое значение, она не должна содержать систематической ошибки и вместе с тем иметь возможно меньшую дисперсию. Кроме того, при увеличении объема выборки вероятность сколь угодно малых отклонений |θ*–θ| должна быть близка к 1.
Сформулируем следующие определения.

1. 
   Оценка параметра называется несмещенной, если ее математическое ожидание М(θ*) равно оцениваемому параметру θ, т. е.
   

М(θ*) = θ, (1)
и смещенной, если
М(θ*) ≠ θ, (2)

2. 
   Оценка θ* называется состоятельной, если при любом δ > 0
   

(3)
Равенство (3) читается так: оценка θ* сходится по вероятности к θ.
3. Оценка θ* называется эффективной, если при заданном п она имеет наименьшую дисперсию.