Element bo’ladigan konkret element bo’lsin. U holda, bundan

7-m i s o l.   gruppa   gruppaning qismgruppasidir.  

8-m i s o l. Olmoshlarning ushbu

 

 

 

to’plami   gruppada qismgruppa ekanligini ko’rsating.

         Yechish.  ning Keli jadvalini tuzamiz:  

.

 

Bu jadvaldan  ning qismgruppa ekanligi kelib chiqadi. ■

         9-m i s o l. Agar  element   gruppaning  -tartibli elementi bo’lsa    son  ga bo’lganda va faqat shu holdagina   bo’ladi.

         Yechish.  bo’lsin.   son   ning tartibi bo’lgani uchun  . U holda  . Bundan     element tartibi ta’rifiga asosan   son   shartni qanoatlantiruvchi eng kichik natural sondir.   bo’lgani uchun yuqoridagi muhokamada faqat   bo’lishi mumkin. Demak,   son   ga bo’linadi.

Aksincha, agar   son  ga bo’linsa,   va shuning uchun:  ■

10-m i s o l.   gruppaning   elementi  -tartibga ega bo’lsa   element   tartibga ega bo’ladi. Bunda   Shuni isbot qiling.

         Yechish.Bu yerda   va   bo’lganda   bo’lishini ko’rsatish kerak. Eng avvalo   Endi   shunday son bo’lsinki,   bo’lsin. U holda 9-misolga ko’ra bundan   ning  ning tartibi bo’lgan  ga bo’linishi kelib chiqadi. Demak,   son   ga bo’linadi. Ammo   va   lar o’zaro tub. Shuning uchun   son   ga bo’linishi kelib chiqadi, bundan   ■

11-m i s o l. Multiplikativ   gruppada   elementning tartibi 150 ga teng. Shunga ishonch hosil qiling. ■

12-m i s o l. Birning 15-darajali ildizlarining har biri uchun uning tartibini ko’rsating.

Yechish.Birning 15-darajali ildizlari   bilan ifodalanadi. Bundan   ning tartibi birga;     larning tartiblari uchga;   larning tartiblari beshga;   larning tartiblari 15 ga tengligini ko’ramiz.■

13-m i s o l. Tartibi 100 bo’lgan   siklik gruppada tartibi 20 bo’lgan hamma elementlarini toping.

Yechish.  elementning tartibini   bilan belgilaymiz va shunday   elementlarni izlaymizki,   bo’lsin. 10-misolga asosan   yoki bizning misolimizda   bu esa o’z navbatida   ga teng kuchli. Shunday qilib yechilayotgan masala ushbu masalaga keltiriladi: shunday butun   sonlarni topingki   bo’lsin. Bunday sonlar 5, 15, 35, 45, 55, 65, 85, 95 bo’ladi. Demak, izlanayotgan elementlar:   bo’ladi. ■

14-m i s o l. Barcha butun sonlarning   additiv gruppasi cheksiz siklik gruppadir. U 1 ning barcha karralilaridan iborat bo’ladi. ■

15-m i s o l. Birning  darajali barcha ildizlari qiymatlari  -tartibli multiplikativ siklik gruppa tashkil etadi. U birning ixtiyoriy  darajali boshlang’ich ildizi orqali yaratilishi mumkin. ■

16-m i s o l. Barcha butun sonlarning   additiv gruppasi barcha juft sonlarning   additiv gruppasiga izomorfligini isbot qiling.

Yechish.Ixtiyoriy   uchun   qoida bilan berilgan   akslantirish olamiz.   izomorfizmdir. ■

17-m i s o l. Barcha musbat haqiqiy sonlarning   multiplikativ gruppasi barcha haqiqiy sonlarning   additiv gruppasiga izomorfligini isbot qiling. 

Yechish.  formula bilan aniqlangan   akslantirish olamiz.   shart ixtiyoriy   uchun o’rinli bo’lgani uchun   izomorfizmdir. ■

18-m i s o l. Kompleks sonlarning   multiplikativ gruppasi   ko’rinishdagi maxsusmas (ya’ni, kamida,   yoki  ) matrislarning multiplikativ gruppasiga izomorfligini isbot qiling.

Yechish.  formula bilan aniqlangan   akslantirishni olamiz.   bo’lsin. U holda

Shu bilan birga agar   bo’lsa, u holda   Demak,  izomorfizm. ■

19-m i s o l.   gruppaning barcha avtomorfizmlarini toping.

Yechish.  to’liq yozamiz:

 bo’lsin. U holda   ni quyidagi ko’ri-nishda yozish mumkin bo’ladi.

Bu holda:   bo’lishi bevosita tekshiriladi. Bu tengliklarga asoslanib   gruppaning ixtiyoriy ikki elementi ko’paytmasini topaolamiz. Masalan,

 

 va h. k.

 gruppa quyidagi har xil avtomorfizmlarga ega. Qulaylik uchun ularni olmoshlar shaklida yozamiz:

 

Bu akslantirishlar ko’paytirishni saqlab qoladi. Masalan,

 demak,   yoki    demak, 

 va h.k.