Element bo’ladigan konkret element bo’lsin. U holda, bundan

4-m i s o l. Muntazam uchburchakning barcha simmetriyalari to’plami simmetriyalarni akslantirishlar singari ko’paytirishga nisbatan gruppa tashkil etishini isbot qiling. Uning Keli jadvalini tuzing. 

Yechish muntazam uchburchak bo’lsin,   - uning medianalari. Ushbu   oltita almashtirishlarni qarab chiqamiz. Bunda:   aynan almashtirish;   uchburchakni   nuqta atrofida     – uni  ga burish;    lar mos ravishda   medianalarga nisbatan almashtirishlar. Bu oltita almashtirish to’plami gruppa bo’lishini ko’rish qiyin emas.

Uning Keli jadvali quyidagicha bo’ladi:

	ye	a	b	c	d	f
e	ye	a	b	c	d	e
a	a	b	e	f	c	d
b	b	ye	a	d	f	c
c	c	d	f	e	a	b
d	d	f	c	b	e	a
f	f	c	d	a	b	e

                                             B

 

                                l₃                                   l₂

 

 

                            A                                   C                                           

                                                  l₁                   ■

Agar ixtiyoriy   elementlar uchun   bo’lsa,   to’plamning bo’sh bo’lmagan   qismto’plami * algebraik amalga nisbatan yopiq deyiladi. bundan keyingi muhokamalarda (agar boshqa amal takidlangan bo’lmasa) gruppaviy amalni ko’paytiruv deb ataymiz.   gruppa berilgan bo’lsin. Agar   to’plamning bo’sh bo’lmagan   qismto’plamining o’zi gruppada aniqlangan amalga nisbatan gruppa tashkil etsa uni   gruppaning qismgruppasi deyiladi.   to’plamning bo’sh bo’lmagan   qism to’plami   gruppaning qismgruppasi bo’lishi uchun uning ko’paytirish va elementlarning teskarilanishi amallariga nisbatan yopiq bo’lishi, ya’ni 

1)    

2)    

shartlarning bajarilishi yetarli.

         Agar   gruppada biror  element olinsa, u holda   to’plam   ning qismgruppasi bo’ladi (tekshirib ko’ring!). Bu qism gruppa siklik qism gruppa,    element esa uning yasovchisi (yoki yaratuvchisi) deyiladi. Yasovchisi   bo’lgan siklik qismgruppani < g > bilan belgilaymiz.

         O’zining biror < g > siklik qismgruppasi bilan mos tushadigan   gruppa siklik gruppa deyiladi. Bu holda   element uning yasovchi (yoki yaratuvchi)si deyiladi. Agar   gruppaning    elementining hamma har xil bo’lgan butun darajalari har xil, ya’ni   ,    bo’lsa   element cheksiz tartibga ega deyiladi. Aks holda, ya’ni elementning butun darajalari orasida tenglari mavjud,   bo’lib,   uchun   bo’lsa, n natural son   elementning tartibi deyiladi.

         Agar   gruppaning g  elementi cheksiz tartibga ega bo’lsa < g > siklik gruppa cheksiz bo’ladi. Agar   elementning tartibi   bo’lsa, < g > qism ham  -tartibga ega bo’ladi, shu bilan birga 

         Cheksiz siklik gruppa < g > da   ham yasovchi bo’ladi,   va    dan boshqa yasovchilar mavjud emas. Agar < g > – siklik gruppaning tartibi   bo’lsa, u holda   element faqat va faqat   va   sonlar o’zaro tub bo’lgandagina yasovchi bo’ladi.

           va   lar mos ravishda  va   amallarga nisbatan gruppalar bo’lsin. Agar ixtiyoriy   lar uchun   bo’lsa biyektiv   akslantirish   gruppaning   gruppaga izomorfizmi deyiladi. Bu holda  gruppa   gruppaga izomorf ham deyiladi va   shaklda yoziladi. Gruppaning o’ziga izomorfligi uning avtomorfizmi deyiladi.

         5-m i s o l. Ixtiyoriy   gruppada   va   ning o’zidan iborat  ikkita qismgruppa mavjud. Ular   ning trivial qismgruppalari deyiladi.■

         6-m i s o l. Simmetrik   gruppada barcha juft olmosh (o’rniga qo’yish) lar to’plami   qismgruppadir. (Tekshirib ko’ring!) Bu qismgruppa  -darajali ishora almashinuvchi gruppa deyiladi. Uning tartibi   ga teng. ■