Element bo’ladigan konkret element bo’lsin. U holda, bundan

2-m i s o l. (olmosh (o’rniga qo’yish) lar gruppasi).

barcha   ta  darajali olmoshlar to’plami bo’lsin. 

olmoshlarning   ko’paytmasi deb   olmoshga aytiladi.

Ixtiyoriy   uchun   to’plam olmoshlarni ko’paytirishga nisbatan gruppa tashkil etishni ko’rsatamiz. Shu bilan birga n=1; 2 bo’lgan hollarda bu Abel gruppasi, n  3 bo’lganda esa Abel gruppasi emas.

 sistema uchun gruppa ta’rifining to’rt shartining hammasini tekshiramiz:

1.   bo’lsa   bo’lishi olmoshlar ko’paytmasining ta’rifidan bevosita kelib chiqadi.

2.      – ixtiyoriy son va     bo’lsin.

U holda  . Shunday qilib,   dagi qanday i sonni olmaylik har ikkala   va   olmoshlarning har biri uni bitta son   ga o’tkazadi. Bu o’z navbatida   va   -- podstanovkalar   dagi bitta podstanovkaning o’zi ekanligini ko’rsatadi., ya’ni  = = .

3.   da neytral element bo’lib   ayniy olmosh xizmat qiladi: ixtiyoriy   uchun   bo’lishini ko’rish oson.

4. Agar   bo’lsa, u holda   bo’ladi. Haqiqatan  .

Shunday qilib   - gruppa.

 faqat bitta   elementdan iborat.  esa ikkita

 elementlardan iborat:

 va   gruppalarning har ikkalasi abel gruppalardir.

Endi   bo’lsin.

olmoshlarni olib qaraylik. U holda

   ya’ni   bo’lganda    - abel gruppa emas. ■

  n-darajali simmetrik gruppa deyiladi.