Electric Motors and Drives This Page Intentionally Left Blank

w
Tdt
=
1
J
T
w
Figure A.8
Block diagram representing the integration of torque to obtain angular
velocity
Appendix
393

---

The fact that the gain changes until the steady state is reached means
that we can only use the simple ‘gain block’ approach to represent an
integrator when conditions have settled into the steady state, i.e. all the
variables are constant. The output of an integrator can only remain
constant if its input is zero: if the input is positive, the output will be
increasing, and if the input is negative the output will be decreasing. So
in the steady state, an integrator has in
W
nite gain, which is just what we
need to eliminate steady-state error.
The example discussed above includes an integration that re
X
ects
physical properties, i.e. the fact that the angular acceleration is propor-
tional to the torque, and hence the angular velocity is proportional to
the integral of torque. Another ‘natural’ integration applies to the water
tank we looked at earlier, where the level of water is proportional to the
integral of the
X
ow rate with respect to time.
In many systems there is no natural integration in the forward-path
process, so if it is important to achieve zero steady-state error, an
integrating term is included in the controller. This is discussed in the
next section.
A.6
PID CONTROLLER
We saw in Section A.3 that the simplest form of controller is an ampli
W
er
the output of which is proportional to the error signal. A control system
Torque (T), Nm
2
1
−
1
2
4
Speed (
ω
), rad/sec 
Time, sec
0
1
2
Figure A.9
Variation of angular velocity (
v
) resulting from application of torque (T)
394
Electric Motors and Drives

---

that operates with this sort of controller is said to have ‘proportional’ or
‘P’ control. An important feature of proportional control is that as soon
as there is any change in the error, proportionate action is initiated
immediately.
We have also seen in Section A.5 that in order to completely eliminate
steady-state error we need to have an integrating element in the forward
path, so we may be tempted to replace the proportional controller in
Figure A.3 by a controller whose output is the integral of the error signal
with respect to time. This is easily done in the case of an electronic
ampli
W
er, yielding an ‘integral’ or ‘I’ controller.
However, unlike the proportional controller where the output re-
sponds instantaneously to changes in the error, the output of an inte-
grating controller takes time to respond. For example, we see from
Figure A.9 that the output builds progressively when there is a step
input. If we were to employ integral control alone, the lag between
output and input signals may well cause the overall (closed-loop) re-
sponse to be unacceptably sluggish.
To obtain the best of both worlds (i.e. a fast response to changes and
elimination of steady-state error), it is common to have both propor-
tional and integral terms in the controller, which is then referred to as a
PI controller. The output of the controller (
y
(
t
)) is then given by the
expression
y
(
t
)
¼
Ae
(
t
)
þ
k
ð
e
(
t
)d
t
where
e
(
t
) is the error signal,
A
is the proportional gain and
k
is a
parameter that allows the rate at which the integrator ramps up to be
varied. The latter adjustment is also often – and rather confusingly –
referred to as integrator gain.
We can easily see that because raising the proportional gain causes a
larger output of the controller for a given error, we generally get a faster
transient response. On the other hand the time lag associated with an
integral term generally makes the transient response more sluggish, and
increases the likelihood that the output will overshoot its target before
settling.
Some controllers also provide an output term that depends on the rate
of change or di
V
erential of the error. This has the e
V
ect of increasing
the damping of the transient response, an e
V
ect similar to that demon-
strated in Figure 4.16. PI controllers that also have this di
V
erential (or D)
facility are known as PID controllers.
Appendix
395

---

A.7
STABILITY
So far we have highlighted the bene
W
ts of closed-loop systems, but
not surprisingly there is a potential negative side that we need to be
aware of. This is that if the d.c. loop gain is too high, some closed-
loop systems exhibit self-sustaining oscillations, i.e. the output ‘rings’ –
generally at a high frequency – even when there is no input to the
system. When a system behaves in this way it is said to be unstable,
and clearly the consequences can be extremely serious, particularly
if large mechanical elements are involved. (It is worth mentioning
that whereas in control systems instability is always undesirable, if
we were in the business of designing electronic oscillators we would
have an entirely di
V
erent perspective, and we would deliberately
arrange our feedback and loop gain so as to promote oscillation at the
desired frequency.)
A familiar example of spontaneous oscillation is a public address
system (perhaps in the village hall) that emits an unpleasantly loud
whistle if the volume (gain) is turned too high. In this case the closed
loop formed by sound from the loudspeaker feeding back to the micro-
phone is an unwanted but unavoidable phenomenon, and it may be
possible to prevent the instability by shielding the microphone from the
loudspeakers (i.e. lowering the loop gain by reducing the feedback), or
by reducing the volume control.
Unstable behaviour is characteristic of linear systems of third or
higher order and is well understood, though the theory is beyond our
scope. Whenever the closed-loop system has an inherently oscillatory
transient response, increasing the proportional gain and/or introducing
integral control generally makes matters worse. The amplitude and
frequency of the ‘ringing’ of the output response may become larger,
and the settling time may increase. If the gain increases further the
system becomes unstable and oscillation grows until limited by satur-
ation of one or more elements in the loop.
As far as we are concerned it is su
Y
cient to accept that there is a
potential drawback to raising the gain in order to reduce error, and to
take comfort from the fact that there are well-established design criteria
that are used to check that a system will not be unstable before the loop
is closed. Stability of the closed-loop system can be checked by examin-
ing the frequency response of the open-loop system, the gain being
adjusted to ensure (by means of design criteria known as gain and
phase margins) that, when the loop is closed for the
W
rst time, there is
no danger of instability.
396
Electric Motors and Drives

---

A.8
DISTURBANCE REJECTION – EXAMPLE
USING D.C. MACHINE
We will conclude our brief look at the bene
W
ts of feedback by consider-
ing an example that illustrates how a closed-loop system combats the
in
X
uence of inputs (or disturbances) that threaten to force the output of
the system from its target value. We already referred to the matter
qualitatively in Section A.2.2, when we looked at how we would drive
a car at a constant speed despite variations in wind or gradients.
Throughout this book the self-regulating properties of electric motors
have been mentioned frequently. All electric motors are inherently
closed-loop systems, so it is
W
tting that we
W
nish by revisiting one of
our
W
rst topics (the d.c. machine), but this time we take a control-
systems perspective to o
V
er a fresh insight as to why the performance
of the machine is so good.
The block diagram of a separately excited d.c. machine (with arma-
ture inductance neglected) is shown in Figure A.10.
This diagram is a pictorial representation of the steady-state equa-
tions (3.5), (3.6) and (3.7) developed in Chapter 3, together with the
dynamic equation relating resultant torque, inertia and angular acceler-
ation. This set of equations are repeated here for convenience.
Motor torque,
T
m
¼
kI
Motional e
:
m
:
f,
E
¼
k
v
Armature circuit,
V
¼
E
þ
IR
Dynamic equation,
T
m
T
L
¼
T
res
¼
J
d
v
dt
or
v
¼
1
J
ð
T
res
d
t