Electric Motors and Drives This Page Intentionally Left Blank

r
Output,
y
Controller
e
Figure A.3
Typical arrangement of negative-feedback closed-loop control system
Appendix
387

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the forward path and unless the gain of the controller was in
W
nite there
would be nothing going into the process to produce the output that we are
trying to control. So, for the present let us assume that the gain of the
controller is very high, and make the justi
W
able assumption that we have a
good system and that therefore the feedback signal is almost, but not
quite, equal to the reference signal.
In terms of the symbols in Figure A.3, the almost zero-error condition
is represented by approximating the reference signal (
r
) to the feed-back
signal (
Hy
), i.e.
r
Hy
,
or
y
1
H
r
(A
:
1)
This equation is extremely important because it indicates that in a good
control system, the output is proportional to the input, with the constant
of proportionality or ‘gain’ of the closed-loop system depending only on
the feedback factor (
H
). We came to the same conclusion when we
looked at the example of driving a car at a given speed, when we
concluded the most important aspect was that we had a reliable speedo-
meter to provide accurate feedback.
Of course we must not run away with the idea that the forward path is
of no consequence, so next we will examine matters in a little more detail
to see what conditions have to be satis
W
ed in order for the steady-state
performance of a closed-loop system to be considered good. For this
analysis we will assume that all the blocks in the forward path are
combined together as a single block, as shown in Figure A.4, where
the gain
G
represents the product of all the gains in the forward path.
(For example, if we want to reduce Figure A.3 to the form shown in
Figure A.4, we put
G
¼
AG
1
.)
The signals in Figure A.4 are related as follows:
y
¼
Ge
and
e
¼
r
Hy
(A
:
2)
G
H
G
1 + G H
r
r
y
y
e
Figure A.4
Closed-loop system (left) and its representation by a single equivalent block
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Electric Motors and Drives

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To establish the relationship between the output and input we eliminate
e
, to yield
y
¼
G
1
þ
GH
r
(A
:
3)
This shows us that the output is proportional to the input, with the
closed-loop gain (output
y
over input,
r
) being given by
G
=
(1
þ
GH
).
Note that so far we have made no approximations, so we should not be
surprised to see that the gain of the closed-loop system does in fact
depend not only on the feedback, but also on the forward path. This
result is summarised in Figure A.4, where the single block on the right
behaves exactly the same as the complete closed-loop system on the left.
It is worth mentioning that if we had been using the Laplace trans-
form method to express relationships in the s-domain, the forward and
feedback paths would be written
G
(s) and
H
(s), where
G
(s) and
H
(s)
represent algebraic functions describing – in the s-domain – both steady-
state and dynamic properties of the forward and feedback paths, respec-
tively. These functions are known as ‘transfer functions’ and although
the term strictly relates to the s-domain, there is no reason why we
cannot use the same terminology here, provided that we remember
that we have chosen to consider only steady-state conditions, and there-
fore what we mean by transfer function is simply the gain of the block in
the steady-state. In the context of Figure A.4, we note that the transfer
function (i.e. gain) of the single block on the right is the same as the gain
of the closed-loop system on the left.
Returning to equation (A.3), it is easy to see that if the product
GH
(which must always be dimensionless) is very much greater than 1, we
can ignore the 1 in the denominator and then equation (A.3) reduces to
equation (A.1), derived earlier by asking what we wanted from a good
control system. This very important result is shown in Figure A.5, where
the single block on the right approximates the behaviour of that on the
left, which itself precisely represents the complete system shown in
Figure A.4.
So now we can be precise about the conditions we seek to obtain
a good system. Firstly, we need the product
GH
to be much greater
If GH
1,
G
1 + GH