Electric Motors and Drives This Page Intentionally Left Blank

r
y
e
+
-
R
1
R
2
V ( r )
in
=
V
( y )
out
=
R
2
R + R
1
2
= 0.2
(a)
(b)
Figure A.6
Operational ampli
W
er with negative feedback:
(a)
circuit diagram,
(b)
equivalent block diagram
Table A.1 Closed-loop gain is relatively insensitive to forward-path gain provided that
the loop gain is much greater than 1
Forward
gain,
G
Feedback
factor,
H
Loop
gain,
GH
1
þ
GH
Closed-loop
gain
G
/(1
þ
GH
)
100
0.2
20
21
4.7619
1000
0.2
200
201
4.9751
10 000
0.2
2000
2001
4.9975
Appendix
391

---

almost 10%. This explains why high-precision resistors with excellent
temperature stability are used to form the potential divider.
We should conclude this example by acknowledging that we have to
sacri
W
ce the high inherent open-loop gain for a much lower overall closed-
loop gain in the interests of achieving an overall gain that does not depend
on the particular op-amp we are employing. But since such circuits are
very cheap, we can a
V
ord to cascade them if we require more gain.
A.5
STEADY-STATE ERROR – INTEGRAL CONTROL
An important criterion for any closed-loop system is its steady-state
error, which ideally should be zero. We can return to the op-amp
example studied above to examine how the error varies with loop gain,
the error being the di
V
erence between the reference signal and the
feedback signal. If we make the reference signal unity for the sake of
simplicity, the magnitudes of the output and error signals will be as
shown in Figure A.7, for the three values of forward gain listed in
Table A.1. At the highest loop gain the error is only 0.05%, rising to
only 4.8% at the lowest loop gain. These
W
gures are impressive, but what
if even a very small error cannot be tolerated? It would seem that we
would need in
W
nite loop gain, which at
W
rst sight seems unlikely. So how
do we eliminate steady-state error?
100
0.2
r = 1
y = 4.7619
e = 0.047619
0.95238
1,000
0.2
r = 1
y = 4.975124
e = 0.0049751
0.995025
10,000
0.2
r = 1
y = 4.99750125
e = 0.00049975
0.99950025
Figure A.7
Diagram showing how the magnitude of the error signal (e) reduces as the
gain of the loop increases
392
Electric Motors and Drives

---

The clue to the answer lies in the observation above, that in order to
have zero error we need in
W
nite loop gain, i.e. at some point in the
forward path we need a block that gives a steady output even when
its input is zero. This is far less fanciful than it sounds, because all
we need is for the forward path to contain a block that represents
an element or process whose output depends not simply on its input
at that time, but on the integrated e
V
ect of the input up to the time
in question.
An example that is frequently encountered in drives is a block whose
input is torque and whose output represents angular velocity. The
torque (
T
) determines the rate of change of the angular velocity,
the equation of motion being d
v
=
d
t
¼
T
=
J
, where
J
is the inertia. So
the angular velocity is given by
v
¼
1
=
J
Ð
T
d
t
, i.e. the speed is deter-
mined by the integral with respect to time of the torque, not by the value
of torque at any particular instant. The block diagram for this is shown
in Figure A.8. The presence of the integral sign alerts us to the fact that
at any instant, the value of the angular speed depends on the past history
of the torque to which it has been subjected.
To illustrate the variation in the ‘e
V
ective gain’ of a block containing
an integrator, we can study a simple example of an inertia of 0
:
5 kg m
2
,
initially at rest, that is subjected to a torque of 2 Nm for 1 s, followed by
a torque of
1 Nm for a further second and zero torque thereafter. Plots
of the input torque and the corresponding output angular speed with
time are shown in Figure A.9. For the
W
rst second the acceleration is
4 rad/s/s, so the speed is 4 rad/s after 1 s. For the next second the torque
is negative and the deceleration is 2 rad/s/s, so the speed after 2 s has
fallen to 2 rad/s. Subsequently the torque and acceleration are zero so
the speed remains constant.
If we examine the graphs, we see that the ratio of output (speed) to
input (torque), i.e. the quantity that hitherto we have referred to as gain,
varies. For example, just before
t
¼
1, the gain is 4
=
2
¼
2 rad
=
s
=
Nm,
whereas just after
t
¼
1 it is 4
=
1
¼ 
4 rad
=
s
=
Nm. Much more import-
antly, however, we see that from
t
¼
2 onwards, the output is constant at
2 rad/s, but the input is zero, i.e. the gain is in
W
nite when the steady state
is reached.