Ehtimolliklar nazariyasi va matematik statistika

Misol va masalalar
Agar E^ = 3, = 16 ekanligi m a’lum bo‘lsa, normal taqsi langan £, tasodifiy m iqdorning zichlik funksiyasini toping.

	(*-3)2
Javob: f (x ) = —	32 .

V2 TC

121

2. % uzluksiz tasodifiy m iqdor zichlijc funksiyasi / ( x ) bilan berilgan:

E \ ni toping.
Javob: Et, = 0,2.
Taqsim ot funksiyasi F ( x ) = 1 - e~°’u (x > 0) bilan berilgan ko‘rsatkichli taqsim otga ega £ tasodifiy m iqdorning dispersiyasini toping.
Javob: D t,~ 100.
Qopda 7 ta olm a bo'lib, ularning to ‘rttasi oq, qolganlari qizil. Q opdan tavakkaliga 3 ta olm a olinadi. £, —olingan oq olm a-lar soni. ££, ni toping.
Javob: = 1 y .
5. £, tasodifiy m iqdorning taqsim ot qonuni berilgan:

	- 1	2	3
P:	0,3	0,2	0,5

m atem atik kutilm asini toping.

Javob: E^ = 1,6.
6. ^ tasodifiy m iqdor [0; 1] k e sm ad a/(x )= 3 x 2 zichlik funksiya­ si bilan berilgan, bu kesm adan tash q arid a/(x )= 0 . M atem atik ku­ tilm asini toping.
Javob: I % = 0,75.
7. \ diskret tasodifiy miqdor ushbu taqsimot qonuni bilan berilgan:

	2		3	5
Pi	0,1	0,4	0,5

Ikkinchi tartibli boshlang‘ich m om entini toping.

Javob: 16,5.

122

8. E, diskret tasodifiy m iqdor ushbu taqsim ot qonuni bilan b e ­ rilgan:

1 2 4
P: 0,1 0,3 0,6
D ispersiyani toping.
Javob: 1,29.
£ diskret tasodifiy m iqdor ushbu taqsim ot qonuni bilan be ­ rilgan:
£: 1 3
P. 0,4 0,6
U chinchi tartibli boshlang‘ich m om entini toping.
Javob: 16,6.
Partiyadagi 100 ta m ahsulotning 10 tasi nosoz. Tekshirish uch u n partiyadan 5 ta m ahsulot tasodifiy ravishda tanlab olinadi. T anlanm adagi nosoz m ahsulotlar sonining m atem atik kutilm asini toping.
Javob: Et = 0,5.
IV bob bo‘yicha test topshiriqlari
Quyidagi taqsim ot qonuni bilan berilgan \ diskret tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilm asini toping:

	%:	0	1	3
	P:	1/6	2 /3	1/6
A) 4/3	B)	1/3	C ) 1	D ) 7/6.

Quyidagi taqsim ot qonuni bilan berilgan £, diskret tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilm asini toping:

		0,21	0,54	0,61
	P.	0,1	0,5	0,4
A) 5	B)	0,5	C)	0,535	D) 0,631.

123

4

Agar £, va r\ ning m atem atik kutilmasi m a’lum bo‘lsa, 8 tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasini toping: 5 = t, + 2x\, Et, = 5, Er\ = 3.

A) 10 B) 11 C) 30 D) 12.
4. £, diskret tasodifiy m iqdorning taqsim ot qonuni berilgan:
%: -1 0 1 2
R 0,2 0,1 0,3 0,4 Tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasini toping.
A) 0,9 B) 0,4 C) 0,5 D) 0,3.
5. Diskret tasodifiy m iqdorning taqsim ot qonuni berilgan.

	—1	0	1	2
	R 0,2	0,1	0,3	0,4
Tasodifiy m iqdorning dispersiyasini toping.
A) 1,29	B) 0,3	C)	0,9	D) 0,29.

6. £, diskret tasodifiy m iqdor 3 ta m um kin b o lg an qiymatni qabul qiladi: Xj=4 ni P |= 0 ,5 ehtim ollik bilan, x2=6 ni p2—0,3 ehti­ mollik bilan va x3 ni p3 ehtim ollik bilan. E^ = 8 ni bilgan holda

x3 ni va p 3 ni toping.
A) x3	=	29,	p3	= 0,2	C) x3 =	20, p-s =	0,5
B) x3	=	21,	p3	— 0,2	D ) x3 =	30, p} =	0,3.

Quyidagi taqsim ot qonuni bilan berilgan X diskret tasodifiy m iqdorning m atem atik kutilmasini toping:

	X:	- 4	6	10
	R	0,2	0,2	0,6
A) 6	B) 6,4		C)	6,3	D) 7.

8. Quyidagi taqsim ot qonuni bilan berilgan X diskret tasodifiy

m iqdorning kvadratik chetlanishini toping:
	X:	1	2	3	4	5
	P:	0,1	0,2	0,3	0,3	0,1
A) 1,2	B)	1,23	C)	1,1357	D)	11,357.

124

V bob. BOG‘LIQ BO‘LMAGAN TASODIFIY
MIQDORLAR KETMA-KETLIGI.
LIMIT TEOREMALAR
V bobni o ‘rganish natijasida talaba:
— Chebishev tengsizligi;
— katta sonlar qonuni;
— markaziy limit teorema/ari haqida tasavvurga ega bo‘lishi;
— Chebishev tengsizligini;
— katta sonlar qonunini;
— markaziy limit teoremani
bilishi va amalda qo‘llay olishi;
— Chebishev tengsizligidan foydalanib misollar yechishni;
— katta sonlar qonunidan foydalanib misollar yechishni;
— markaziy limit teoremalardan foydalanib misollar yechishni uddalashi lozim.
5.1-§. Chebishev tengsizligi. Katta sonlar qonuni
«Katta sonlar qonuni» (turg‘unlik xossasi) keng m a’noda katta sondagi tasodifiy hodisalar ta ’sirining o ‘rtacha natijasi am alda tasodifiy boMmay qolishini va yetarlicha aniqlikda aytish m um - kinligini anglatadi.
T or m a’noda esa «katta sonlar qonuni» deganda ko‘p sondagi kuzatishlar natijasida o ‘rtacha xarakteristikalarning biror doimiy kattaliklarga yaqinlashishini ta ’kidlaydigan teorem alar guruhi tu - shuniladi.
Faraz qilaylik, E,^ 2, tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi berilgan bo‘lsin.
l - t a ’rif. Agar shunday sonlar ketm a-ketligi {an, n—1,2,...} m avjud b o lib , ixtiyoriy e > 0 uchun

125

m unosabat o ‘rinli b o ‘lsa, u holda tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi katta sonlar qonuniga b o ‘ysunadi, deyiladi.
K atta sonlar qonunini isbotlashda quyidagi C hebishev tengsiz-ligi keng q o ‘llaniladi. Biz uning qoMlanilishini C hebishev teore - m asida keltiram iz.
1 -teorem a . ( Chebishev tengsizligi)■ C hekli dispersiyaga ega boMgan \ tasodifiy m iqdor va z > 0 uchun quyidagi tengsizlik o ‘rinli:
P ( \ \ - E \ \ > z ) < , ^ - .
Isbot. £, tasodifiy m iqdor absolut uzluksiz, / ( x ) uning zichlik funksiyasi boMsin.U holda uning dispersiyasi
00
D ^= J ( x - E t , ) 2 f ( x ) d x
- C O
boMadi. Oxirgi integralni ikkiga ajratam iz:
" j( x - E $ 2 f ( x ) d x = J ( x - E f y 2 f ( x ) d x + J ( x - E t , ) 2 f { x ) d x .
-OO |x-££|>£
Bu tenglikdan quyidagi
D ^ > J (x- E^ ) 2 f ( x ) d x
\x -E t\z z
tengsizlik kelib chiqadi. Integral ostidagi (x — E| ) ni z ga alm ash - tirib, quyidagini hosil qilamiz:
Z%> | ( x - E f y 2 f ( x ) d x > z 2 J f(x)cbc = z 2 - E^\ > e) .
\x~FX\>z \x -E § £

Bu yerdan esa absolut uzluksiz tasodifiy m iqdor uchun C hebi­ shev tengsizligi kelib chiqadi. Endi £, tasodifiy m iqdor diskret boMib,

x, , x 2 , —, x k qiymatlarni m os ravishda p l , p 2 , ... ,pk i ... ehti-

moJliklar bilan qabul qilsin. U holda uning dispersiyasi

= 1 'Ax k ~ E t f Pk k
b oiadi.
Bunday tasodifiy m iqdor uchun Chebishev tengsizligini quyida­
gicha isbotlaymiz. A, = j / : |x( - E't\ > sj va A, ={ i : |x,- - < s] hodisalarni kiritsak, u holda

( xi -Pi * e2 Z P i = e2 p (k - E^\ - E)

fe Aj fe Aj

b o lib , Chebishev tengsizliginmg o'rinli ekanligini ko'rsatadi. Eslatm a. Chebishev tengsizligini quyidagi
P { ^ - E % | < e) > l - ^
ko‘rinisnda ham yozish m um kin, ya’ni £, tasodifiy m iqdor o'zining Et, m atem atik kutilm asidan chetlashishining absolut qiymati mus-

Dt

bat b dan kichik b o lish ehtimolligi 1 — dan kichik emas.

£
Misol. M atem atik kutilmasi a va dispersiyasi a 2 b o ig an t, taso ­ difiy m iqdor berilgan b o isin . % tasodifiy m iqdor o ‘zining m ate­ m atik kutilm asidan 3a ga chetlanish ehtim olligini yuqoridan ba-holang.