\x -* k \>xBn ^ \x~ak \>^B„
ekanligini e ’tiborga olinsa,
p { K
^ " °kI >xB"}= ^ jj U(!^ - a*| >
)| <
k=‘
1 " fc=1 |x-u^|>t3„
Agar Lindeberg sharti bajarilsa, u holda oxirgi tengsizlikning o ‘ng tom oni. x > 0 son har qanday b o ‘lganda ham «->» da nolga intiladi.
Xususan, agar {£„} tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi bir xil taqsimlangan bo‘lsa, u holda 2-teorem adan 1-teorem a kelib chiqa di. H aqiqatan ham , bu holda B2 = a 2 ■n, 0 < a 2 < oo va w->oc da ixtiyoriy x > 0 uchun
-
Z/n (x) = - y
|
f ( x - a j 1 d F ( x )
|
-» 0.
|
(■y
|
J
|
|
|a - * /|> to Jr t
|
|
S
|
A
|
asim ptotik norm al
|
Endi yuqoridagi T)„ =
|
kctm a-ketlik
|
b o lish i uchun yetarli b o ig an boshqa shartlarni ham ko‘rsatish m um kin. M isol uchun Lyapunov shartini qaraylik. Bu shart Lindeberg shartiga ko'ra nisbatan ko‘proq talablar q o ‘ysa ham, b a’zi hollarda bu shartni tekshirish oson b o iad i.
Aytaylik, biror 5 > 0 son uchun
4 * = E t k - a k? *
mavjud b o isin va
cr = t ci**
k=\
deylik.
3 -teorem a (A. M. Lyapunov). Agar «->oo da
shart bajarilsa, u holda oo da
2
P (n „ < x ) ^ > ~ j e 2 du
-oo
m unosabat V x e ( - 00, 00) da bajariladi.
/iioft'. Lyapunov sharti bajarilganda Lindeberg sharti o ‘rinli b o ‘-
lishini ko‘rsatamiz. \x -
|
ak I > 1:Bn tengsizlikdan ushbu
|
!'-■
|
> 1 ni
|
hosil qilam iz, u holda
|
|
|
TB,
|
|
|
|
|
|
|
j r Z
|
j
|
(x ~ ak)2 dFk ( x ) <
|
|
|
|
k=X\x-ak>\iB,
|
|
|
|
|
|
|
2+8
|
1 f n
|
A2+8
|
j r Z r j j
|
J
|
|
|
|
|
/!-*» da, bu esa teorem ani isbotlaydi.
Misol. Quyidagi b o g iiq b o ‘lm agan tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi uchun m arkaziy lim it teorem aning o ‘rinliligi tekshirilsin:
P ( ^ k = ± k ) = \ k \ P{%k = 0) = 1 - k~^, k = 1 ,2 ,....
Yechish. Lyapunov shartini tekshiram iz:
E£,jt = 0 ; Dt,k = k 1 = o k \ ck —k 2 .
U shbu a > —1 b o ‘lganda o ‘rinli b o ‘ladigan
Y F ~ \ xad x ------ - « a+1
-f-f J a+1
*=1 1
m unosabatni tekshirishni o ‘quvchiga m ashq sifatida beram iz. Bu m unosabatdan foydallanib,
Bl ~ A n K c 3n = ~ A 2rh
Ar=l
ni aniqlaym iz, bu yerda A x va A2 ~ absolut o ‘zgarm as sonlar.
D em ak,
-
|
7
|
|
|
|
£ l
|
A2r>2
|
n
|
|
x i .
|
IT
|
- >
|
Bl
|
|
Atn 4
|
|
|
|
|
|
|
|
Shunday qilib Lyapunov sharti bajariladi va markaziy limit teorem a o ‘rinli ekan.
‘/,-o‘zini tekshirish uchun savollar
K atta sonlar qonunining m ohiyati nim adan iborat?
Chebishev tengsizligini yozing. Uni isbotlang.
Chebishev formasidagi katta sonlar qonuni nim adan ibo
rat?
Chebishev teorem asini aytib bering. Uni isbotlang.
Bernulli teorem asini aytib bering. Uni isbotlang.
6. Markaziy limit teorem asining ma/.muni nim adan iborat?
Ehtim olliklar nazariyasining limit teoremalari qanday aham i-yatga ega?
. Lyapunovning m arkaziy limit teoremasi nim adan iborat?
Misol va masalalar
£, tasodifiy m iqdor ushbu = \ , D^ = 0,04 xarakteristika-larga ega. A = {0,5 < E, < 1,5}, B = {0,75 < £ < 1,35}, C = { ^ < 2 } hodisalar ehtimolligini quyidan baholang.
Javob: i >(,4 )> 0 ,8 4 ; P ( B ) > 0,36; P ( C ) > 0 ,9 6 .
Biror tayin joyda 1 yildagi quyoshli kunlar soni X, o'rta qiymati 100 kun va o ‘rtacha kvadratik chetlanishi 20 kun bo‘!gan tasodifiy m iqdor b o isin . Quyidagi hodisalar ehtim olliklarini yu-qoridan baholang: A = { X > 150}, B = { X > 200}.
Javob: P ( A ) < 0,16, P ( 5 ) < 0 ,0 4 .
bogiiqsiz tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi b o lib ,
^ , 0 va - qiym atlarni m os ravishda 1 - —, ~ ehti-
2 n n 2n
m olliklar bilan qabul qiladi. Bu ketm a-ketlik uch u n katta sonlar qonuni bajariladim i?
, Javob: bajariladi.
b o giiqsiz tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi b o lib ,
t,„ - y f n , 0 va n qiym atlarni m os ravishda — T , 1 — y , — - ehti-
2 n n In'-
m olliklar bilan qabul qiladi. Bu ketm a -ketlik uchun katta sonlar q onunini q o lla sh m um kinm i?
Javob: ha.
b o g iiq siz tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi b o lib ,
—n, 0 va n qiym atlarni m os ravishda ~ , j , j ehtim olliklar
bilan qabul qiladi. Bu ketm a-ketlik uchun katta sonlar qonunini q o lla sh m um kinm i?
Javob: yo‘q.
6. m atem atik kutilm alari va dispersiyalari chekli b o ig an bogiiqsiz va bir xil taqsim langan tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi
b o isin . Ixtiyoriy haqiqiy s o n x uch u n quyidagi lim P{tA +... + 'qn < x)
rt->oo
lim it yoki 0 yoki 1 yoki 1/2 ga teng ekanligini isbotlang. U shbu vaziyatlar bajariladigan shartlam i k o ‘rsating. . ■
Javob: 0 agar ££,, > 0; 1 agar EtsX < 0; 1/2 agar Et>] = 0.
^ ,^ 2, — m atem atik kutilmalari 0 va dispersiyalari chekli b o ig an bogiiqsiz va bir xil taqsim langan tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi
b o isin , r\n =
|
|
Agar
|
lim P \ ~
|
> l ] = | b o isa ,
|
ni
|
toping.
|
|
|
4n
|
J 3
|
|
|
|
|
|
|
Javcob: Dc,. =
|
1
|
bu yerda
|
|
2
|
|
yJX
|
x soni (I)(x ) = — tenglam aning
|
|
|
|
i
|
|
yechim i.
8. b o g iiq siz tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketligi boMsin,
r\n = £,! + ■■■+ '%„■ A gar^„ tasodifiy m iqdor [an - 1, an + 1] oraliq-
da tekis taqsim langan b o ‘lib, a x,a2,... haqiqiy sonlar ketm a-ketligi
uchun y a, = A < oo bo Isa, u holda lim P 0 < < 1 ni toping.
^ «->oo v y
Javob: 0 ( V 3 ) - i .
V bob bo‘yicha test topshiriqlari
1. Diskret tasodifiy m iqdor ushbu taqsim ot qonuni bilan berilgan:
|
X
|
0,1
|
0,3
|
|
|
P
|
0 ,4
|
0,6
|
|
Chebishev tengsizligidan foydalanib,
|
|E, - E %| < 0 ,2 ning eh ti
|
m olligini baholang.
|
|
|
|
A) 0,76
|
B) 0,73
|
|
C) 0,9
|
D ) 0,29.
|
Agar £, tasodifiy m iqdor chekli EE, m atem atik kutilm aga, a o ‘rta kvadrat chetlanishga ega b o ‘lsa, |E, - Et,\ < 3 a hodisa eh ti m olligini baholang.
A) 8/9 B) 1/3 C) 1 D) 7/6.
0 ‘zaro bog‘liq b o lm a g a n 1000 tajribaning h ar birida biror A hodisa 0,5 ehtim ollik bilan ro ‘y bersin. Agar A hodisaning ro ‘y berishlar soni X b o lsa , ^ (3 5 0 < X < 650) ehtim ollikni b ah o l ang.
^(340 < X < 660) > 0,989
P(350 < X < 650) > 0,989
P ( 350 < X < 650) < 0,989 D) P(350 < X < 650) <0,989.
0 ‘zaro bog‘liq b o ‘lmagan tasodifiy m iqdorlar ketm a-ketiigi {£%} u ch u n E t,= 0, D^n = na , a = const, a < 1 berilgan . Bu ketm a-ketlik uchun katta sonlar qonuni o'rinlim i?
A) 0 ‘rinli.
0 ‘rinli emas.
0 ‘rinli b o lish i ham , bolm asligi ham m umkin.
a = const, a < ^ bo‘lganda o'rinli, qolgan hollarda o'rinli emas.
0 ‘zaro b o g iiq b o im ag an 500 ta tajribaning har birida biror A hodisa p — 0,2 ehtim ollik bilan ro‘y bersin. Bu tajribalarda A
hodisaning ro‘y berishlar soni E, b o isa,
|
P(50 < E, < 150)
|
ehtim ol-
|
likni Chebishev tengsizligidan foydalanib baholang.
|
|
A)
|
P(50<4<150)
|
> 0,968
|
C)
|
P(50<4 <
|
150)
|
= 0,968
|
B)
|
P (5 0 < q < 150)
|
< 0,058
|
D)
|
P(50<£<
|
150)
|
< 0,968.
|
6. Ushbu m unosabat m alu m :
Do'stlaringiz bilan baham: |