“Ehtimollik va statistic modellar” fanidan onlen leksiyalar

Masalalar:

1. Lorens chizig’ini quring, Djini va Lorens koyfitsiyentlarini hisoblang.

Ish bilan band bo’lgan korxona-lar guruhi	[1-500)	[500-1000)	[1000-5000)	[5000-10000)	10000
Korxonalar soni	4941	1173	1408	202	94
Ish bilan bandlar soni, mln hisobida	0.99	0.84	2.92	1.36	1.81

2. Lorens chizig’ini quring, Djini va Lorens koyfitsiyentlarini hisoblang.

Jon boshiga mos keluvchi daromad bo’yicha aholi guruhi (umumiy aholi sonining 10% dan)	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Jami daromaddan ulush (%da)	2.3	5.1	6.0	6.9	7.8	8.6	9.7	11.5	15.8	26.3

9-Mavzu. Normal chiziqni tajribaviy ma’lumotlar asosida qurish. Asimmetriya va ekssess.

Avval normal taqsimot haqidagi nazariy ma’lumotlar keltiramiz

Amaliyotda uchraydigan tasodifiy miqdorlar bо‘ysunadigan taqsimot qonunlari orasida kо‘proq normal qonun bilan ish kо‘riladi.

Normal taqsimot deb

(8.3)

zichlik funksiya bilan tavsiflanadigan uzluksiz tasodifiy miqdor taqsimotiga aytiladi, bu yerda a normal taqsimot matematik kutilmasi: esa о‘rtacha kvadratik chetlanishi, ya’ni

(8.3) funksiya musbat va

.

Normal taqsimotning taqsimot funksiyasi:

(8.4)

parametrli normal taqsimot stardant normal taqsimot deyiladi, uning zichlik funksiyasi

(8.5)

kо‘rinishda bо‘ladi.Taqsimot funksiyasi esa

,

bu yerda, ekanligini tekshirish oson. Normal taqsimotning taqsimot funksiyasini

(8.6)

Laplas funksiyasidan foydalanib topish mumkin.

.

va funksiya juftligidan,

.

Demak,

yoki (8.7)

Bu ikki va funksiya bizga tanish va ularning qiymatlar jadvali mavjud.Ularning ba’zi xossalarini keltiramiz.

zichlik funksiyasi:

1. 
   Butun Ox sonlar о‘qida aniqlangan va musbat.
   
2. 
   Juft funksiya, demak, grafigi Oy о‘qiga nisbatan simmetrik.
   
3. 
   oraliqda о‘suvchi; da kamayuvchi.
   
4. 
   , demak, Ox о‘qi gorizontal asimptota.
   
5. 
   x=0 da - yagona maksimumga ega.
   
6. 
   Grafigi:
   

6-chizma

Endi taqsimot funksiyasining xossalarini keltiramiz:

1. 
   Butun son о‘qida aniqlangan va uzluksiz.
   
2. 
   Funksiya toq, demak, uning grafigi koordinatalar boshiga nisbatan simmetrik.
   
3. 
   Funksiya butun son о‘qida о‘suvchi.
   
4. 
   ; ;
   

5.Grafigi

7-chizma

1-izoh. Standart normal taqsimotning (o, x) intervalga tushish ehtimolligi

(8.8)

2-izoh. Normal taqsimlangan X tasodifiy miqdorning intervaldagi qiymatni qabul qilish ehtimolligi

(8.9)

2-misol. X tasodifiy miqdor normal qonun bо‘yicha taqsimlangan. Bu miqdorning matematik kutilmasi , о‘rtacha kvadratik chetlanishi . X ning (0,4; 0,6) intervalga tushish ehtimolligini toping.

Yechish =

=

Ko’pgina belgilar normal qonunga bo’ysunadi, masalan,insonning bo’yi, snaryadning ucnish masofasi va sh.k.

Normal taqsimot qonunining grafigi normal egri chiziq yoki Gauss egri chizig’i deyiladi. a va σ parametrli normal egri chiziqning grafigi:

8-chizma 9-chizma

Normal egri chiziq x=a to’g’ri chiziqqa nisbatan simmetrik bo’lib, x=a nuqtada maksimumga: ,

da esa ikkita burilish(egilish) nuqtasiga ega(8- chizma) .

a va σ parametrlarning qiymatlarida normal egri chiziq qanday o’zgarishini aniqlaymiz. Agar va a parametr, ya’ni taqsimotning simmetriya markazi o’zgarsa u holda normal egri chiziqning ko’rinishi o’zgarmasdan u Ox o’qi bo’ylab siljiydi(10- chizma).

10- chizma 11- chizma

Agar va σ parametr o’zgarsa u holda normal egri chiziqning ordinatasi o’zgaradi: σ ning o’rtib bo’rishi bilan chiziqning ordinatasi kamayib boradi, chunki taqsimotning har qanday chizig’i bilan chegaralangan shaklning yuzi birga teng. Shu sababli normal egri chiziq Ox o’qi bo’ylab yoyilib tekislanib boradi; σ ning kamayib bo’rishi bilan chiziq yon tomondan siqilib yuqoriga cho’zilib boradi. (11-chizma).Shunday qilib, a parametr normal egri chiziqning markazini, σ parameter esa uning shaklini tavsiflaydi.
Normal chiziqni tajribaviy ma’lumotlar asosida qurishning usullaridan biri quyidagicha:

1. 
   berilgan tanlanma asosida va lar topiladi;
   
2. 
   ordinatani formula orqali topiladi, bu yerda kuzatilayotgan chastotalar yig’indisi, ikki qo’shni variantlar orasidagi farq:
   
3. 
   Kordinatalar tekisligida nuqtalar quriladi va ular chiniq (yoki egri) chiziq bilan birlashtiriladi.
   

Hosil bo’lgan grafikni normal chiziq bilan yaqinlagi tanlanmani normal taqsimlanganligini ko’rsatadi.

Misol. Normal chiziqni quyidagi taqsimot uchun quring:

Yechish. Tanlanmaning o’rta qiymati va dispersiyasini ko’paytirish usuli bilan topamiz: va . Endi kerakli qiymatlarni topamiz:

Rasmda nazariy normal chiziq va kuzatilayotgan chastotalar poligani ko’rsatilgan.

Bu chiziqlarni taqqoslasak, nazariy va tanlanma poligoni bir-biriga yaqin.

Nisbiy chastotalar taqsimotini empirik taqsimot deyiladi. Empirik taqsimotni ctatistika fani o’rganadi.

Ehtimolliklar taqsimotini nazariy taqsimot deyiladi. Nazariy taqsimotni ehtimollar nazariyasi fani o’rganadi.