1. Sirtning ikkinchi kvadratik formasi. Mene formulasi. Sirtning normal egriligi

Sirtning ikkinchi kvadratik formasi. Mene formulasi. Sirtning normal egriligi.
Reja:
1. Sirtning ikkinchi kvadratik formasi.
2. Mene formulasi.
3. Sirtning normal egriligi.
Foydalanilgan adabiyotlar
Tenglamasi r=r(u,v) bo`lgan sirt ustida  egri chiziq berilgan bo`lsin. egri chiziqda s tabiiy parametrni kiritamiz. U xolda egri chiziq bo`ylab u va v lar s parametrning funktsiyalari bo`ladi. Egri chiziq tenglamasi r=r(u(s), v(s)) ko`rinishda bo`ladi. Bizga ma‘lumki r"_ss=ky. Bu tenglikni sirtning birlik normal vektori n ga skalyar ko`paytirib, quyidagi
r"<sub>ss</sub>=kсоs (1)
tenglikni olamiz. Bu yerda  -  va n vektorlar orasidagi burchak. (1) tenglikning chap tomonini quyidagicha shakl almashtirish qilamiz:
r"<sub>ss</sub>=r<sub>u</sub>u"+ r<sub>v</sub>v"<sup>2</sup>+2 r<sub>uv</sub>u'v'+ r<sub>vv</sub>v'<sup>2</sup>
bo`lgani uchun va r_un=0, r_vn=0 ekanini eotiborga olsak:
r_ssn=(r_uun)u'²+2(r_vvn)u'v'+(r_vvn)v'²=
= = (2)
(2) tenglik suratidagi ifoda kvadratik formadan iborat bo`lib, uni sirtning 2-kvadratik formasi deb yuritiladi va odatda  bilan belgilanadi. Demak,
=
ikkinchi kvadratik formaning koffsientlari uchun quyidagi belgilashlarni kiritamiz:
r<sub>uu</sub>n=L; r<sub>uv</sub>n=M; r<sub>vv</sub>n=N.
Bundan (1) formulaga asosan
=kсоs=Ldu<sup>2</sup>+2Mdudv+Ndv<sup>2</sup> (3)
bo`ladi.
Bu formuladan shu narsa ma‘lum bo`ladiki, kсоs miqdor faqat egri chiziqning yo`nalishiga bog`lik ekan. Shuning uchun umumiy urinmaga ega bo`lgan barcha egri chiziqlar uchun kсоs bir xildir.
Ta‘rif. Sirtning urinma tekislikka perpendikulyar tekislik bilan kesimi uning normal kesimi deyiladi.
Ta‘rif. Sirt normal kesimining egriligi sirtning berilgan nuqtadagi normal egriligi deyiladi va k_п билан белгиланади.
Agar egri chiziq sifatida sirtning normal kesimini olsak, u xolda |соs|=1 bo`ladi. Demak, k|соs|=k<sub>n</sub> bo`ladi.
Agar normal egrilik zarur ishorani belgilasak, u xolda oxirgi tenglikni
kсоs=k_n (4)
ko`rinishda yozishimiz mumkin. Bunda
k<sub>n</sub>=
sirt ustidagi egri chiziq egriligi bilan sirtning normal egriligi orasidagi boglanishni ifodalovchi (4) tenglik Menpe teoremasining mohiyatini ifodalaydi.
Endi F sirt
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
ko`rinishdagi parametrik tenglamalar bilan berilganda 1-va2-kvadratik Formalarning koeffsientlari uchun ifodalar topamiz.
F sirtning parametrik tenglamalari
x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)
ko`rinishda berilgan bo`lsin.
yuqoridagi belgilashlar asosida 1-kvadratik formani koeffsientlari uchun ushbu
(6)
tengliklarni topamiz. Ikkinchi kvadratik formaning koeffsientlari esa
L=r_uun=r_uu = =
Xuddi shuningdek,
М= , N= .
Agar F sirt z=f(u,v) ko`rinishdagi tenglama bilan berilgan bo`lsa, u yuqorida ko`rib o`tganimizdek
x=u, y=v, z=f(u,v)
parametrik tenglamalarga teng kuchlidir. Shuning uchun 1-ва2-kvadratik formalarning koeffsientlari quyidagicha bo`ladi:
E=1+z_x², F=z_xz_y, G=1+z_y²
L= , M= , N= .