“Ehtimollik va statistic modellar” fanidan onlen leksiyalar

10-Занятие. Закон больших чисел. Неравенство Чебышева. Применения закона больших чисел
В широком смысле слова под «законом больших чисел» (ЗБЧ) понимают известное с глубокой древности свойство устойчивости массовых явлений, т.е. средний результат действия большого числа случайных явлений практически перестает быть случайным и может быть предсказан с достаточной определенностью.
В узком смысле слова под «законом больших чисел» понимают совокупность теорем, в которых устанавливается факт приближения средних характеристик к некоторым постоянным величинам в результате большого числа наблюдений.
Доказательств ЗБЧ основано на неравенствах Маркова и Чебышева.
Неравенство Маркова. Если случайная величина Х не принимает отрицательных значений, то для любого положительного числа
, или .
Неравенство Чебышева. Для любой случайной величины X, имеющей конечную дисперсию, и для любого числа имеет место неравенство:
,
т.е. вероятность того, что отклонение случайной величины Х от его математического ожидания МХ по абсолютной величине меньше положительного числа , не меньше чем .
Это неравенство можно записать и в другом виде: .
Применим неравенство Чебышева к последовательности случайных величин. Если - последовательность случайных величин, таких, что: 1) они попарно независимы; 2) имеют конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С>0 ( ), то, каково бы ни было ,

Теорема Чебышева (Закон больших чисел). Если - последовательность случайных величин, таких, что: 1) они попарно независимы; 2) имеют конечные дисперсии, ограниченные одной и той же постоянной С>0 ( ), то, каково бы ни было ,
.
Если, в частности, , то
.
Содержание этой важной теоремы состоит в том, что среднее арифметическое случайных величин при достаточно большом n будет (с большой вероятностью) как угодно мало отличаться от числа или от числа а в частном случае.
Следующая теорема устанавливает связь между от относительной частотой события и его вероятностью.
Пусть произведено n независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления некоторого события А постоянна и равна р.
Теорема Бернулли (Закон больших чисел). При неограниченном возрастании числа независимых испытаний п относительная частота m / n появления события А сходится по вероятности к его вероятности p, т. е. каково бы ни было ,
.