Ehtimollik nazariyasi va matematik statistika fanidan



Download 1,31 Mb.
bet4/13
Sana12.04.2022
Hajmi1,31 Mb.
#546707
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13
Bog'liq
Ahmadjonov Mamadali

ω1=G………………-birinchi tashlagandayoq gerb tushganini,
ω2=RG……………-birinchi tashlashda raqam, ikkinchisida gerb tushganini,
ω3=RRG-birinchi va ikkinchi tashlashda raqam, uchinchisida gerb tushganini,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ω4=RRR…………R G -birinchi, ikkinchi va hokazo i-1 –tashlashda raqam, i-1- tashlashda gerb tushganini bildiradi.
Agar elementar hodisalar fazosi chekli yoki sanoqli miqdordagi elementar hodisalardan iborat bo’lsa, u elementar hodisalar diskret fazosi deyiladi.
Agar Ω da musbat qiymatli P(ωi) funksiya berilgan bo’lsava u shartni qanoatlantirsa, u holda Ω da ehtimollar taqsimoti berilgan deyiladi.
Har qanday tasodifiy hodisaning ehtimoli deb, ushbu

songa aytiladi.
Misol: Bir jinsli kubni tashlashdan i ochko (i=1,2,2,3,4,5,6) tushish hodisasini ωi bilan belgilaylik. U holda elementar hodisalar fazosi Ω={ωi},i=1,2,3,4,5,6 bo’ladi. Kub bir jinsli bo’lgani uchun ωi hodisaning ro’y berish ehtimoli deb hisoblash maqsadga muvofiqdir.
Xuddi shunga o’xshash, simmetrik bir jinsli tangatashlashda ω1 gerb(G), ω2 raqam(R) tushish hodisasi bo’lsa, deyish tabiiydir. U holda tangani birinchi bor gerb tushguncha tashlashda ωi orqali i-tashlashda birinchi bor gerb tushishi hodisasi belgilansa, tegishli ehtimollarni
, ,..., ,...
kabi berilishi maqsadga muvofiqdir. Bunday berilgan funksiya Ω da ehtimollar taqsimotini aniqlaydi, chunki har bir
P(ωi)>0 va .
Lekin, har safar ham ehtimolni bunchalik oson aniqlash mumkin deb tushunsak xato qilamiz. Masalan, kuzatilayotgan tajriba biror aloqa bo’limidan bir kunda kutilayotgan telegrammalar soni bo’lsin. Bu yerda tajribadan-tajribaga o’tganda, ya’ni kundan-kunga o’tganda ro’y berishi mumkin bo’lgan hodisalar (telegrammalar sonining biror natural songa tengligi) har xil bo’lishi mumkin.
Elementar hodisalar fazosi Ω={ωi}, ωii-kunda jo’natilgan telegrammalar sonidan iborat bo’lsa, bu misolda P(ωi) ni ma’lum shartlar asosida, matematik mulohazalar yordamida aniqlash mumkin. Demak, elementar hodisalar diskret fazosida elmentar hodisalar ehtimolini kiritsak, unda har qanday A hodisaning ehtimoli

ko’rinishga ega. Bunday aniqlangan ehtimollik quyidagi xossalarga ega:
.
.
.
Ikkinchi xossadan, hususiy holda- bo’lganda- (qo’shish teoremasi) kelib chiqadi. Buni ehtimollikning chekli additivligi xossasi deyiladi va u birgalikda ro’y bermaydigan ( ) har qanday hodisalar uchun ham o’rinli, ya’ni .
Bu xossa quyidagi munosabatdanva da dan kelib chiqadi.
Ehtimollikning klassik ta’rifi. Kombinatorika elementlari
Agar Ω chekli n ta elementar hodisadan tashkil topgan bo’lib, har bir elementar hodisa ning ehtimoli ni ga teng deb olinsa, elementar hodisalar teng imkoniyatli deyiladi. Bunday fazoda har qanday A hodisaning ehtimolini quyidagicha aniqlash tabiiy:
.
Hodisaning funksiyasi bo’lmish bu P(A) ehtimolning hamma xossalarga ega ekanligini tekshirib chiqish qiyin emas. Ehtimolning yuqorida kiritilgan ta’rifi uning klassik ta’rifidir. Ko’rinib turibdiki, klassik ta’rif faqat teng imkoniyatli chekli sondagi elementar hodisalardan tashkil topgan Ω fazo uchun kiritilishi mumkin, bu hol klassik ta’rifni qo’llashni chegaralaydi, chunki Ω elementlari chekli bo’libgina qolmay, balki turli imkoniyatli bo’lishi ham mumkin-da!
Klassik ta’rifdan foydalanib masalalar yechishda kombinatorika elementlari muhim rol o’ynaydi, shuni e’tiborga olib kombinatorikaning ba’zi elementlari ustida to’xtalib o’tamiz.
1.Turli gruppadan bittadan tanlab olishlar kombinatsiyasi. r ta turli gruppa mavjud bo’lsin. Brinchi gruppa ta elementdan, ikkinchi gruppa ta elementdan va hokazo, r-gruppa ta elementdan tuzilgan bo’lsin. Har bir gruppadan faqat bittadan element olib, nechta r elementli gruppa tuzish mumkin?
Shunday usulda tuzish mumkin bo’lgan barcha gruppalar soni

dan iborat bo’ladi.
Isbot. Bu faktni isbotlash uchun matematik induksiya metodini qo’llaymiz. Buning uchun (1.1.1) ning da to’g’riligini isbotlaymiz. To’g’ri burchakli koordinatalar sistemasida o’qqa birinchi gruppa elementlarini, o’qqa ikkinchi gruppa elementlarini joylashtiramiz (1.1.7-chizma)

1.1.7-chizma(birinchi va ikkinchi gruppa elementlarining
koordinatalar sistemasida tasvirlanishi)
U holda barcha ko’rinishdagi gruppalar soni ga teng bo’ladi. Endi (1.1.1) formulani r-1 uchun to’g’ri deb faraz qilib, uning r uchun tog’riligini ko’rsatamiz. r-1 bo’lgan holda ko’rinishdagi gruppalar soni ga teng.
2. Qaytariladigan tenglashlar soni. Faraz qilaylik, n ta elementga ega bo’lgan gruppa berilgan bo’lsin. Bu gruppadan bittalab element olib uni fiksirlagach, o’rniga qaytarib qo’yamiz va bu protsesni yana takrorlaymiz. Bu usuldan r marta foydalanib, r elementli gruppani hosil qilamiz. Bu usulda tanlab olishlar soni ga teng. Bu formulaning isboti (1.1.1) dan bevosita kelib chiqadi, buning uchun r ta bir xil elementlarga ega bo’lgan gruppani qarash kifoya.
3. O’rinlashtirishlar soni (qaytarilmaydigan tanlashlar soni). Kombinatorika o’rinlashtirish deyilganda tartiblangan joylashtirishni tushuniladi. Agar r ta turli element n ta yacheykaga ko’pi bilan bittadan joylashtirilgan bo’lsa, u holda (1) formulaga ko’ra barcha o’rinlashtirishlar soni

ga tengdir. Agar r=n bo’lsa, o’rinlashtirishlar soni o’rin almashtirishlar soniga teng bo’ladi:

4. Gruppalashlar soni (kombinatsiyalar). N ta yacheykaga r ta turli element joylashgan bo’lsin. U holda gruppalashlar soni

ga tengligiga bevosita ishonch hosil mumkin. Agar nta elementli k ta gruppaga bo’lingan bo’lib, i-gruppada element mavjud bo’lsa, u holda bu usulda gruppalashlar soni

Isbot. n elementli gruppani n1 va n-n1 elementga ega bo’lgan ikkita gruppaga bo’lamiz, bunday bo’lishlar soni

usulda bo’ladi. Navbatda n-n1 ni n2 va n-n1-n2 elementli ikki gruppaga bo’lamiz, bunday gruppalashlar soni

usulda bo’ladi. Bu protsesni ketma-ket davom ettirib,

ni hosil qilamiz. Natijada (1.1.1) formuladan (1.1.2) tenglikning o’rinli ekaniga ishonch hosil qilamiz.
Endi gruppalashning ba’zi bir xossalarini keltiramiz. Ixtiyoriy
lar uchun

o’rinli, haqiqatan ham,

Quyidagi munosabatlarning to’g’riligiga bevosita ishonch hosil qilish mumkin:


Oxirgi tenglikdan

hosil qiluvchi funksiya yordamida hisoblaymiz, bu yerdaa,b–ixtiyoriy haqiqiy sonlar. Haqiqatan ham,(1.1.4) ifodaning z bo’yicha k-tartibli hosilasini hisoblasak,


hosil bo’ladi. Bu ifodadan a=1, b=1, z=1 da (1.1.3) ni hosila qilamiz.
Endi klassik ta’rifdan foydalanib, ba’zi bir hodisalarning ehtimolini hisolaymiz.
Misol. Uchta shashqaltosh tashlanganda tushgan ochkolar yig’indisi 18 ga teng bo’lish hodisasinining ehtimolini toping.
Yechish. ) (i,j,l= ) orqali mos ravishda birinchi shashqaltoshda i ikkinchisida j va uchinchisida l ochkolar tushishini belgilaymiz, u holda bu ko’rinishdagi tanlab olishlar soni n=63=216. Agari=6, j=6 va l=6 bo’lsa, yig’indi 18 gateng bo’ladi, bunday imkoniyatlar soni esa 216 tadan faqat bitta, m=1, demak,
Misol. Pilla qabul qilish punktida pillaning sortini aniqlash maqsadida 104 dona pilladan 100 donasini tasodifiy tanlab olinadi. Agar 100 dona pillaning hammasi birinchi sort bo’lsa, barcha pilla birinchi sortga qabul qilinadi, aks holda ikkinchi sortga olinadi. Hamma pillalar ichida 100 donasi ikkinchi sort bo’lsin. Laborant birinchi sortga qabul qiladigan 104pilla ichidan 100 donasi ikkinchi sort chiqishi hodisasining ehtimolini toping.
Yechish. 104 dona pilladan 100 tadan tanlab olishlar soni

ga teng. Shartga ko’ra, olingan 100 dona pilla birinchi sort bo’lsa, barcha pilla birinchi sortga qabul qilinadi. Demak, 100 dona pilla ikkinchi sortga tegishli pilla qolgan 9900 dona pilla ichida bo’ladi, bunday tanlashlar soni esa

klassik ta’rifga ko’ra, bu hodisaning ehtimoli:

Misol. Qartalar dastasidan (36 dona karta) tavakkaliga to’rttasi olindi. Shular ichida bitta “tuz” qarta bo’lish ehtimolini aniqlang.
Yechish. 36 dona qartadan 4 tasini usulda olish mumkin. Bitta “tuz” qartani usulda va uchta tuz bo’lmagan qartani usulda olish mumkin, u holda hamma qulaylik tug’diruvchi imkoniyatlar soni bo’ladi. Shuning uchun

Misol. Kitob lotereyasida jami n ta bilet bor, ulardan m tasi yutuqli. Tavakkaliga olingan k ta lotereyada kamida bitta yutuq chiqish ehtimolini toping.
Yechish. n ta biletdan k tasini usulda tanlash mumkin. Yutuq chiqmaydigan bilatlar soni n-m ta bo’lib, ulardan k tasini usulda tanlash mumkin. U holda bitta ham biletga yutuq chiqmaslik ehtimoli

nisbatga teng bo’ladi. Kamida bitta biletga yutuq chiqish hodisasi bitta ham biletga yutuq chiqmaslik hodisasiga qarama-qarshi hodisa bo’lgani sababli

Ehtimollikning geometrik ta’rifi


Biror G soha berilgan bo’lib, bu soha G1 sohani o’z iсhiga olsin, . G sohaga tavakkaliga (tasodifan) tashlangan nuqtaning G1 sohaga ham tushishi ehtimolini topish talab etilsin. Bu yerda Ω elementar hodisalar fazosi G ning barcha nuqtalaridan iborat va kontinium quvvatga ega. Binobarin, bu holda klassik ta’rifdan foydalana olmaymiz. Tashlangan nuqta G ga albatta tushsin va uning biror G1 qismiga tushish ehtimoli shu G1 qismining o’lchoviga (uzunligiga, yuziga, hajmiga 0 proporsional bo’lib, G1 ni G ning qayerida joylashganiga bog’liq bo’lmasin. Bu shartlarda qaralayotgan hodisaning ehtimoli

bu yerda mes inglizcha so’zidan olingan bo’lib, o’lchov ya’ni uzunlik, yuza, hajm ma’nosini bildiradi.
formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlanadi. Bu formula yordamida aniqlangan P funksiya ehtimolining barcha xossalarini qanoatlantirishini ko’rish qiyin emas.
Misol. L uzunlikka ega bo’lgan kesmaga tavakkaliga nuqta tashlansin. Tashlangan nuqta kesmaning o’ratasidan ko’pi bilan l masofada yotish ehtimolini toping.
Yechish. Yuqoridagi shartni qanoatlantiradigan nuqtalar to’plami dan iborat (umimiylikka zarar yetkazmasdan, kesmaning o’rtasini sanoq boshi deb qabul qilamiz). Bu kesmaning uzunligi 2l ga teng. Demak, qaralayotgan hodisaning ehtimoli

Misol. Ikki do’st soat 9 bilan 10 o’rtasida uchrashmoqchi bo’lishdi. Birinchi kelgan kishi do’stini chorak soat davomida kutishi shartlashib olindi, agar bu vaqt mobaynida do’sti kelmasa, u ketishi mumkin. Agar ular soat 9 bilan 10 o’rtasidagi ixtiyoriy momentda kelishi mumkin bo’lib, kelish momentlari kelishilgan vaqt mobaynida tasodifiy bo’lib, bu momentlar o’zaro kelishilib olingan bo’lmasa, u holda bu ikki do’stning uchrashish ehtimoli qanchaga teng?
Yechish. Birinchi kishining kelish momenti x, ikkinchi kishiniki esa y bo’lsin. Ularning uchrashishlari uchun tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir. x va y larni tekislikdagi Dekart koordinatalari sifatida tasvirlaymiz. Ro’y berishi mumkin bo’lgan tomonlari 60 bo’lgan kvadrat nuqtalaridan va uchrashishga qulaylik tug’diruvchi imkoniyatlar shtrixlangan yuzdan iboratdir. Izlanayotgan Ehtimol shtrixlangan yuzning kvadrat yuziga bo’lgan nisbatiga teng (1.8-chizma):

1.1.8-chizma(Ikki do’st uchrashuvi haqidagi masala)



Misol. (Byuffon masalasi.) Tekislikda bir-biridan masofada turuvchi parallel to’g’ri chiziqlar o’tkazilgan. Tekislikka uzunligi 2l (l<α) bo’lgan igna tavakkaliga tashlangan. Ignanaing birorta to’g’ri chiziqni kesish ehtimolini toping.
Yechish. x orqli ignaning o’rtasidan unga yaqinroq bo’lgan parallelgacha bo’lgan masofani va φ orqali igna bilan bu parallel orasidagi burchakni belgilaymiz (1.1.9-chizma).

1.1.9-chizma(Ignani tavakkaliga tashlash masalasi)

Download 1,31 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish