Ehtimollik nazariyasi va matematik statistika fanidan

Kurs ishining maqsadi va vazifalari: Markov zanjiri va uning xossalari uchun I bobda Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalari, elementar hodisalar fazosi, hodisalar va ular ustida amallar, ehtimollar nazariasini aksiomatik asosda qurish, shartli ehtimollar, hodisalarning bog’liqsizligi, to’la ehtimol formulasihaqida ma’lumotlarga ega bo’lamiz.
II bobning birinchi qismida bog’liq tajribalar ketma-ketligi. Markovning diskret zanjiri haqida ma’lumotga ega bo’lamiz.
II bobning ikkinchi qismida Markov zanjiriga doir misollar bilan tanishamiz.
Kurs ishining dolzarligi: Matematik bialogiya masalalarini yechihda ehtimollar nazaryasini o’rganishga to’g’ri keladi. Bu Kursishida chekli va sanoqli to’plam uchun ta tajribani ko’rib bu tajribalarni ketma-ket takrorlaylik, n-tajriba natijasini orqali belgilab bu ning ehtimoli ta tajriba natijasiga bog’liq bo’lib, oldingi ta tajriba natijasiga bog’liq bo’lmasa bunday tajribalar ketma-ketligi Markov zanjirini tashkil qilishini o’rganish asosiy dolzarb masaladir.
Kurs ishining obyekti va predmeti: Obyekti: hodisalar bog’liqsizligi, bog’liq tajribalar ketma-ketligi, Markovning diskret zanjiri.
Predmeti: tasodifiy miqdorlar ketma-ketligining matritsalari va uning xususiyatlari, determinant, sonli qatorlar, yaqinlashuvchi va uzoqlashuvchi Markov zanjirining ergodiklik prisipiga bo’ysunishining zaruriy va yetarli shartlari, o’tish ehtimolliklari matritsasi.

1 EHTIMOLLAR NAZARIYASINING ASOSIY TUSHUNCHALARI

Elementar hodisalar fazosi. Hodisalar ustida amallar

Ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri tasodifiy hodisadir. Bu tushuncha tajriba bilan chambarchas bog‘liqdir. Tajriba sun’iy ravishda yaratiluvchi yoki uni o‘tkazuvchi shaxsning ixtiyoriga bog‘liq bo‘lmagan holda vujudga keluvchi ma’lum shartlar kompleksi bajarilganida, o‘tkaziladigan sinovdan iborat. Tajribalarni ikki sinfga (turga) bo‘lish mumkin. Ularning birida tajriba natijalari tabiat qonunlariga tayangan holda oldindan aytib berilishi mumkin. Bunday tajribalar deterministik (aniqlangan) degan nom bilan yuritiladi. Tajribalarning ikkinchi sinfida esa bir xil shart-sharoit bajarilganda ham sinov natijasida bir-birini rad etuvchi xilma-xil hodisalar ro‘y berishi mumkin. Bunday xilma-xillik masalan, elektr lampochkalarining ishdan chiqish hodisasini kuzatganda, elementar zarrachalar bir-birlari bilan to‘qnashganda, individumlarning biror tibbiy preparatga ta’sirchanligi kuzatilganda va hokazolarda uchraydi. Bunday tajribalarni o‘rganish ehtimollar nazariyasining predmetini tashkil etadi. Ular tasodifiy (stoxastik) yoki ehtimollik tajribalari deb ataladi. Biz bunday tajribalarni istalgancha qaytarish mumkin, deb faraz qilamiz. Tasodifiy tajribaning har qanday natijasi elementar hodisa deyiladi. Tajriba natijasida ro‘y berishi mumkin bo‘lgan barcha elementar hodisalardan tashkil topgan to‘plamni biz elementar hodisalar fazosi yoki tanlanma fazo deb ataymiz va Ω orqali belgilaymiz, har bir elementar hodisani esa ω,(ω𝜖Ω) orqali belgilaymiz.
Elementar hodisalar fazosining tuzilmasini izohlash uchun quyida misollar keltiramiz:
Misol. Tajriba bir jinsli simmetrik tanga tashlashdan iborat bo‘lsin. Raqamni «R» va gerbni «G» orqali belgilasak, u holda elementar hodisalar ikkita bo’lib, ω₁=R va ω₂=G, elementar hodisalar fazosi Ω ={ω₁ ,ω₂ } to‘plamdan iborat bo‘ladi.
Misol. Tajriba shu tangani ikki marta tashlashdan iborat bo’lsin. Bunda elementar hodisalar quyidagicha bo’ladi:
ω₁=(GG)–birinchi tashlashda gerb, ikkinchisida ham gerb tushish hodisasi;
ω₂=(GR)–birinchi tashlashda gerb, ikkinchisida raqam tushish hodisasi;
ω₃=(RG)–birinchi tashlashda raqam, ikkinchisida gerb tushish hodisasi;
ω₄=(RR)–birinchi tashlashda raqam, ikkinchisida ham raqam tushish hodisasi.
Bu tajribada elementar hodisalar fazosi Ω to’rtta elementdan iborat:
Ω={ω₁,ω₂,ω₃,ω₄}.
Misol. Tajriba nomerlangan kubni (yoqlari birdan oltigacha nomerlangan bir jinsli kubni) tashlashdan iborat bo‘lsin. Bunda elementar hodisalar fazosi Ω={1,2,3,4,5,6} to‘plamdan iborat va elementar hodisalar soni esa N=6²=36 ga teng.
Misol. Faraz qilaylik, biz telefon stansiyasining ishini bir soat ichida kuzatib,chaqirishlar (talablar) soni bilan qiziqaylik. Kuzatuv vaqtida bitta ham chaqirish kelmasligi,bitta chaqirish kelishi,ikkita chaqirish kelishi va hokazo hodisalar ro'y berishi mumkin. Bu tajribada elementar hodisalar fazosi Ω={0,1,2,...} ko‘rinishga ega.
Misol. Tajriba nuqtani [0.1] segmentga tasodifiy ravishda tashlashdan iborat. Bu yerda elementar hodisalar fazosi Ω=[0.1] dan iboratdir,ya’ni u kontinium quvvatga ega.
Misol. Navbatdagi misol sifatida shamolning yo‘nalishini aniqlashdan iborat bo'lgan tajribani ko‘raylik. Agar biz natijani θ orqali belgilasak, u holda θ[0,2π) yarim intervaldan qiymatlar qabul qiladi. Shunday qilib, tabiiy ravishda Ω elementar hodisalar fazosi chekli yarim intervaldan (yoki aniqrog‘i aylananing nuqtalaridan iborat bo‘ladi). Bir vaqtning o'zida shamolning yo‘nalishi θ va uning v tezligini kuzatish yana ham aniqroq tajriba bo‘lar edi. Bu holda elementar hodisalar fazosi , ya’ni ikki o‘lchovli vektorlardan tashkil topgan cheksiz to‘plam orqali ifodalanar edi.
Misol. (Broun harakati). Mikroskopda molekulalar tomonidan ko‘p miqdordagi zarbalar natijasida tartibsiz (xaotik) harakat qilayotgan kichik zarrachaning holati kuzatilayotgan bo‘lsin. Kuzatuv [0-T] vaqt oralig’ida o‘tkazilayotgan bo‘lsin. Bu tajribaning natijasi zarrachaning harakat trayektoriyasidan iborat bo‘ladi. Agar bizni zarrachaning biror yo‘nalish bo‘yicha siljishi qiziqtirsa,u holda vaqtning ixtiyoriy t momentida (t𝜖[0,T]),uni tanlangan yo‘nalishdagi proyeksiyasining vaziyati x(t) koordinata orqali ifodalanadi. Bu holda elementar hodisalar fazosi Ω={x(t);t𝜖[0,T]}=C_[0,T][0,T] oralig‘ida aniqlangan haqiqiy uzluksiz funksiyalar to‘plamidan iborat bo‘ladi.
Demak, elementar hodisalar fazosi chekli,sanoqli va hatto kontinium quvvatga ega bo'lishi mumkin ekanligi yuqorida keltirilgan misollardan yaqqol ko‘rinadi.
Elementar hodisalar fazosi bilan bir qatorda endi eng muhim tushuncha tasodifiy hodisa yoki hodisa tushunchasidir. Hodisalar elementar hodisalardan tashkil topgan to‘plamlar bo‘lib, ular odatda lotin alifbosining bosh harflari A,B,C,...lar bilan belgilanadi. Tajriba natijasida albatta ro‘y beradigan hodisaga biz muqarrar hodisa deymiz. Aksincha hech qachon ro‘y bermaydigan (ya’ni birorta ham elementar hodisani o‘z ichiga olmagan) hodisaga mumkin bo‘lmagan hodisa yoki bajarilmaydigan hodisa deb aytamiz va uni 0 orqali belgilaymiz. Birorta berilgan hodisalar sinfiga tayanib “yoki”,”va”,”inkor qilish” kabi mantiqiy bog’lanishlar yordamida yangi hodisalarni “hech bo‘lmaganda” hosil qilish mumkin; bu mantiqiy bog‘lanishlarga to‘plamlar nazariyasida “birlashma”,’’kesishma” va “to‘ldirma” kabi amallar mos keladi. Quyida kiritiladigan hodisalar orasidagi munosabatlarni tushunish uchun 1.1.1-chizmani kiritib olamiz:

1.1.1-chizma(A va B hodisalar)