Ehtimollar nazariyasining predmeti va uning iqtisodiy, texnik

n
yoki
P_n ( k ) 
k _p k _q n  k

P_n ( k ) 
^n! _p k _q n  k
(4.1)

k !( n  k )!
Hosil qilingan formula Bernulli formulasi deb ataladi.

1. 
   misol. Bir sutkada elektr quvvati sarfining belgilan-gan me‘yordan ortib
   

ketmasligi ehtimolligi
p  0 ,75
ga teng. Yaqin 6 sutkaning 4 sutkasi davomida

elektr quvvati sarfining belgilangan me‘yordan ortib ketmasligi ehtimolligi topilsin.
Yechish. 6 sutkaning har birida elektr quvvatining me‘yorda sarflanishining

ehtimolligi o‗zgarmas va
p  0 ,75
ga teng. De-mak, har bir sutkada elektr

quvvatining me‘yordan ortiq sarfla-nishining ehtimolligi ham o‗zgarmas va

q  1 
p  1  0 ,75 
 0 , 25
ga teng.

Izlanayotgan ehtimollik Bernulli formulasiga asosan

P₆ ( 4 ) 

4 4 2

p

q

C


6

2 4 2

p

q

C


6
6  5
1  2
( 0 ,75 ) ⁴
 ( 0 , 25 ) ² 
1215
4096

 0,297

ga teng bo‗ladi.

Qator masalalarda muvaffaqiyatlarning eng ehtimolli so-nini, ya‘ni ehtimolligi (4.1) ehtimolliklar ichida eng kattasi bo‗lgan muvaffaqiyatlarning soni ^mˆ ni topish talab etiladi. k ortganda (4.1) ehtimolliklar avval o‗sib, so‗ngra, ma‘lum bir paytdan boshlab, kamaygani sababli ^mˆ uchun

n
P ( m^ˆ ) 
va

n
P ( m^ˆ ) 
P ( m^ˆ



n

n
P ( m^ˆ
 1)

 1)

(4.2)

(4.3)

munosabatlar o‗rinli bo‗lishi kerak.

(4.1) formuladan va mos ravishda
p  q  1
munosabatdan foydalanib, (4.2) va (4.3) dan

( n  m^ˆ
va
 1) p
 m^ˆ q
(4.4)

( m^ˆ
 1) q
 ( n

• 
  m^ˆ ) p
  

(4.5)

tengsizliklarni olamiz.
Pirovard natijada m^ˆ ning uzunligi 1 ga teng bo‗lgan in-tervalda yotishi kelib chiqadi:

np  q  m^ˆ
 np 
p . (4.6)

Biroq, ta‘kidlab o‗tish joizki, Bernulli formulasini p ning katta qiymatlarida qo‗llash ancha qiyin, chunki formula ju-da katta sonlar ustida amallar bajarishni talab qiladi.

Masalan, n
 50 , k
 30 ,
p  0 ,1
bo‗lsa, u holda
P₅₀ ( 30 )
eh-timollikni

hisoblash uchun

^P50


( 30 ) 
50 !


30 !  20 !
 ( 0 ,1) ³⁰
 ( 0 ,9 ) ²⁰

ifodani hisoblashga

to‗g‗ri keladi, bu yerda
50 ! 
30414093
 10
57 _,
30 ! 
26525286
 10
25 _,

20 ! 
24329020
 10 ^{11 .}

Bunday savol tug‗ilishi tabiiy: bizni qiziqtirayotgan ehti-mollikni Bernulli formulasini qo‗llamasdan hisoblash ham mumkinmi? Mumkin ekan. Laplasning lokal teoremasi tajribalar soni yetarlicha katta bo‗lganda hodisaning n ta tajribada roppa-ro-sa k marta ro‗y berishi ehtimolligini taqribiy hisoblash uchun asimptotik formula beradi.
Laplasning lokal teoremasi. Agar har bir tajribada A ho-disaning ro‘y berish ehtimolligi r o‘zgarmas bo‘lib, nol va bir-dan farqli bo‘lsa, u holda p ta

tajribada A hodisaning roppa-rosa k marta ro‘y berishining ehtimolligi taqriban (p qancha katta bo‘lsa, shunchalik aniq)
_x 2
P_n ( k )

1 1 ^ 1
y   e ²    ( x )

npq 2
k  np
npq

funksiyaning x  dagi qiymatiga teng.

 ( x )
_x 2
₁ 
 e ²
2

funksiyaning qiymatlaridan tuzilgan jad-vallar mavjud.

Bunda  (  x )
funksiyadir.
  ( x )
ekanligini hisobga olish ke-rak, chunki  ( x )
funksiya juft

Shunday qilib, p ta bog‗liqmas tajribada A hodisaning roppa-rosa k marta ro‗y berish ehtimolligi taqriban

P_n ( k )
1
   ( x )
npq
(4.7)

k  np
ga teng, bu yerda x  .

2. 
   misol. Agar har bir tajribada A hodisaning ro‗y berish eh-timolligi 0,2 ga teng bo‗lsa, 400 ta tajribada bu hodisaning roppa-rosa 80 marta ro‗y berishi ehtimolligi topilsin.
   

Yechish. Shartga ko‗ra formuladan foydalanamiz:
n  400 ;

1
k  80 ;

p  0 ,2 ^;

1
q  0 ,8 ^{. (4.7)}

^P400
(80 )
   ( x ) 
  ( x ) .

400  0 , 2  0 ,8 ⁸
x ning misol shartlari orqali aniqlanadigan qiymatini hisob-laymiz:

k  np
x 
80 

400
8
 0 , 2
 0 .

Jadvaldan  ( 0 )  0 ,3989 ekanligini topamiz.
1

Izlanayotgan ehtimollik
^P400
(80 ) 
 0 ,3989
8
 0 ,04986
ga teng.

Bernulli formulasi ham taxminan shu natijaga olib kela-di (hisoblashlar uzundan-uzoq bo‗lgani uchun keltirilmadi):

^P400
(80 ) 
0 ,0498 .

Endi p ta tajribada A hodisaning kamida k ₁
marta va ko‗pi bilan k ₂
marta

(qisqacha « k ₁
dan k ₂
martagacha») ro‗y berishi eh-timolligi
P_n ( k ₁ , k ₂ ) ni

hisoblash talab qilingan bo‗lsin. Bu mu-ammo quyidagi teorema yordamida hal qilinadi.
Laplasning integral teoremasi. Agar har bir tajribada A hodisaning ro‘y berish ehtimolligi r o‘zgarmas bo‘lib, nol va bir-dan farqli bo‘lsa, u holda p ta

tajribada A hodisaning
k ₁ dan k ₂
martagacha ro‘y berishi ehtimolligi

P_n ( k ₁ , k ₂ )
quyidagi aniq in-tegralga teng:
^x z ²


₁ 2 _

P_n ( k ₁ , k ₂ )
 e
2
² dz
, (4.8)

bu yerda x ₁ 
k ₁  np


va x ₂ 
x₁
k ₂  np _.

Laplasning integral teoremasini qo‗llashni talab etuvchi masalalarni yechishda
x ^{z 2}

 ( x )
₁ 


 e ² dz
2
integrali uchun max-sus jadvaldan foydalaniladi.

Jadvalda
 ( x )
0
funksiyaning qiy-matlari
x  0
uchun berilgan,
x  0
uchun esa

 ( x )
funksiyaning toq ekanligidan foydalanamiz, ya‘ni
 (  x ) 
  ( x ) .

 ( x )
funk-siya ko‗pincha Laplas funksiyasi deyiladi.
Shunday qilib, p ta bog‗liqmas tajribada A hodisaning k ₁

dan k ₂

martagacha ro‗y berishi ehtimolligi

P_n ( k ₁ , k ₂ ) 
 ( x ₂ )   ( x₁ )
(4.9)

ga teng, bu yerda x ₁ 
k ₁  np
va x ₂ 
k ₂  np _.

3. 
   misol. Tashkilotning soliq inspeksiyasi tekshiruvidan o‗tmasligining
   

ehtimolligi
p  0 ,2
ga teng. Tasodifan olingan 400 ta tashkilotdan 70 tadan 100

tagachasi tekshiruvdan o‗tmasli-gining ehtimolligi topilsin.

Yechish. Shartga ko‗ra
n  400 ;
k ₁  70 ;
k ₂  100 ;
p  0 ,2 ^;

q  0 ,8 ^{. (4.9) formuladan foydalanamiz:}

^P400
( 70 , 100
)   ( x ₂ )   ( x₁ ) .

Integrallashning quyi va yuqori chegaralarini hisoblaymiz:

x ₁ 
k ₁  np _
70 
400
 0 , 2
  1, 25 ;

x ₂ 
k ₂  np
100

 400
 0 , 2


 2 ,5 .

Shunday qilib, quyidagini hosil qilamiz

^P400
( 70 , 100
)   ( 2 ,5 )   (  1, 25 ) 
 ( 2 ,5 ) 
 (1, 25 ) .

 ( x )
funksiyaning qiymatlari jadvalidan
 ( 2 ,5 ) 
0 ,4938 ^;

 (1,25 ) 
0 ,3944
ekanligini topamiz.

Izlanayotgan ehtimollik quyidagiga teng

^P400
( 70 , 100
)  0 , 4938
 0 ,3944
 0 ,8882 .

1-mavzuda ta‘kidlab o‗tilganidek, ehtimollikning statis-tik ta‘rifiga asosan ehtimollik sifatida nisbiy chastotani olish mumkin, shuning uchun ular orasidagi

m
farqni baholash qi-ziqish uyg‗otishi mumkin. nisbiy chastotaning o‗zgarmas r
n
eh-timollikdan chetlanishi absolyut qiymati bo‗yicha avvaldan be-rilgan   0
sondan katta bo‗lmasligining ehtimolligi

ga teng.

P ^  p




^{ }  ^

 
2  ^  ^
 

(4.10)

4. 
   misol. Detalning nostandart bo‗lishi ehtimolligi p 
   

 0 ,1
ga teng.

Tasodifan tanlangan 400 ta detal ichida nostan-dart detallar bo‗lishi nisbiy

chastotasining
p  0 ,1
ehtimollik-dan chetlanishi absolyut qiymati bo‗yicha 0,03

dan katta bo‗lmasli-gining ehtimolligi topilsin.
^{Yechish. Shartga ko‗ra n  400 ;} p  0 ,1 ^; q  0 ,9 ^{;   0 ,03 .}
 
^P  ^{ 0 ,1  0 ,03}  ^{ehtimollikni topish talab qilinadi.}
 
(4.10) formuladan foydalanib, quyidagini hosil qilamiz


P ^  0 ,1

 0 ,03 ^






2  ^ 0 ,03 

^  2  2  ^.




Jadvaldan
 2  
0 ,4772
ni topamiz. Demak,
2  2  
 0 ,9544 .

Shunday qilib, izlanayotgan ehtimollik taqriban 0,9544 ga teng.
Hosil qilingan natijaning ma‘nosi quyidagicha: agar yetar-li darajada ko‗p marta tekshirish o‗tkazilib, har bir tekshirish-da 400 tadan detal olinsa, u holda bu
^{tekshirishlarning taxmi-nan 95,44 % ida nisbiy chastotaning o‗zgarmas} p  0 ,1
ehtimol-likdan chetlanishi absolyut qiymati bo‗yicha 0,03 dan katta bo‗l-maydi.