Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika” fanidan

O’ZBEKISTON RESPUBLIKASI OLIY VA O’RTAMAXSUS TA’LIM VAZIRLIGI
FARG’ONA DAVLAT UNIVERSITETI
MATEMATIKA-INFORMATIKA FAKULTETI


Matematika yo’nalishi 20.01-guruh talabasi
Abdullajonov Yunusjonning
“Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika” fanidan
“O‘zbekistonda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani” mavzusidagi
MUSTAQIL ISHI
Qabul qildi Abdumannopov Muhammadsohib
FARG’ONA-2022
REJA:
1. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika
2- O‘zbekistonda ehtimollar nazariyasi va matematik statistika fani


1.2. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika.
XX asr matematikasining yirik namoyandalaridan biri, amerikalik olim V.Feller (1906-1970) quyidagi fikrlarni keltirgan: “Ehtimollar nazariyasi ‒geometriya va nazariy mexanika kabi matematik fandir. Har qanday matematik fanda uning bir-biridan farqli uchta qirralariga e’tibor berish kerak:
a) uning formal (aksiomatik) moslik asoslariga;
b) undagi induktiv tasavvurlarga;
c) tatbiqiy masalalarga aloqadorligiga.
Bu uchta qirra, o’zaro bog’liqlik asosida qaralganda, matematik fanlarning bir-biridan farqli tarmoqlarini topishga, u yoki bu fanning qanchalik foydali ekanligini baholashga imkon beradi. Ma’lumki, fan aniq bir qonuniyatlarga bo’ysunadigan voqea va jarayonlarni kashf etadi. Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika hozirgi zamon matematikasida yirik intensiv ravishda rivojlanib borayotgan sohani tashkil qiladi va u aniq voqea va jarayonlar orasidagi “tasodifiylik” qonuniyatlarini o’rganadi. Alohida qayd qilib o’tish joizki, matematik ma’nodagi “tasodifiylik” falsafa uchun muhim bo’lgan “tasodifiylik va zaruriyat” kategoriyalari bilan hamohangdir. Umuman, matematika boshqa fanlar qatorida ma’lum qonuniyat-larga bo’ysunadigan jarayonlarni o’rganadi. Matematika va uning obyekti, predmeti orasidagi munosabat quyidagicha ifoda etilishi mumkin.
Keltirilgan jadvaldagi ma’lumot uchun Nyuton yaratgan klassik mexanika oddiy misol bo’ladi. Nyuton mexanikaning asosiy qonunlarini sodda (tushunarli) sxemalar ko’rinishida qabul qilib, ularga moddiy jismlarning o’zaro tortishish qonunini qo’shib, bu aksiomalar va deduktiv fikrlash yordamida oldin ro’y bergan yoki ro’y berishi mumkin bo’lgan mexanik jarayonlar tafsilotini tushuntirib berish mumkin ekanligini isbotladi. Ma’lumki, hodisa ehtimolligini topish matematik formulalar bilan ifodalanadi. Bu esa biror o’rganilayotgan jarayonning (hodisaning) matematik modelidir. Haqiqatdan ham, matematika o’rga-nilayotgan jarayonni bevosita o’rganmasdan, faqat uning matematik modelini o’rganadi, xolos. Bu borada mashhur amerikalik olim Kay Lay Chjunga tegishli quyidagi o’xshatishni keltiramiz: agar matematik oldida uy yonayotgan bo’lsa, u yong’inni bevosita o’chirishdan ko’ra, ko’proq yong’inni o’chirish metodlari (usullari) haqida fikr yuritadi”. «Ehtimollar nazariyasi» degan iborani ilk bor uchratgan kishida bu fanga nisbatan «shubhali fikrlar» yuzaga kelishi tabiiy holga o’xshaydi, chunki «nazariya» so’zi bu iboraning biror fanga aloqadorligini bildiradi va o’z navbatida har qanday fan aniq jarayonlarni o’rganadi, «ehtimollik» so’zi esa oddiy ma’noda qandaydir noaniqlik, tasodifiylik mavjudligini ko’rsatadi. Haqiqatdan ham, «ehtimollar nazariyasi» tasodifiy xarakterga ega bo’lgan (oldindan ro’y berishi yoki bermasligini bashorat qilish mumkin bo’lmagan) jarayonlar, voqealarni o’rganadi. Keltirilgan fikrda yuzaga kelishi mumkin bo’lgan «qarama-qarshilik» oson tushuntirilishi mumkin. Aslida, «ehtimollar nazariyasi» tasodifiy jarayonlar bo’ysunadigan qonuniyatlarni o’rganadi (bu qonuniyatlar fanda stoxastik qonuniyatlar nomi bilan e’tirof etilgan). Tasodifiy bo’lmagan jarayonlar – deterministik hodisalar deb ataladi va ular ma’lum shartlar kompleksi bajarilganda, albatta ro’y beradi. Masalan, suvning temperaturasini oshira boshlasak, u qaynay boshlaydi. Lekin deterministik xarakterga ega bo’lgan hodisalar bilan bir vaqtda tasodifiy hodisalar (jarayonlar) ham ko’p uchraydi. Masalan, epidemiya davrida gripp bilan og’rigan kishilar sog’ayib ketishi, og’ir asoratga uchrashi yoki vafot etishi mumkin. Bu jarayon (gripp bilan kasallanish) natijasida nima bilan tugallanishini oldindan aytib berib bo’lmaydi, lekin bu natijalar har xil «ehtimollik» darajalariga ega bo’lishi mumkin. Aytilgan fikrlardan kelib chiqadiki, ehtimollar nazariyasining obyekti tasodifiy hodisalardan iborat bo’lib, ular uchun yuqoridagi jadvaldagi matematik modellar «ehtimollar» orqali bog’liqligi bilan ajralib turadi.
Ehtimollar nazariyasi fan sifatida shakllanishini XVII asrdan boshlangan deb hisoblanadi. Bu nazariya boshlang’ich davrda (qimor) o’yinlarida uchraydigan kombinatorika masalalarini yechishga bag’ish-langan. Ayni shu masalalar mavjud deterministik matematik modellar doirasidan chiqib, yangi tushunchalar kiritish va yangi g’oyalarga asoslangan yechish usullarni talab qiladigan murakkab muammolarni o’rganishga olib kelgan. Shu kabi yangi g’oyalar o’sha davr olimlari Ferma, Paskal, Gyugens, keyinroq esa mashhur matematiklar Yakob Bernulli, Laplas, Gauss nomlari bilan bog’liq.
Akademik A.A.Borovkovning e’tirof etishicha, ehtimollar nazari-yasiga oid birinchi traktat «Qimor o’yinlaridagi hisoblar haqida»
A.A.Borovkov ‒ Rossiya fanlar akademiyasining akademigi mashhur fizik Gyugens tomonidan yozilgan (1657-y.). Gyugens bu traktatda o’rganilgan masalalarning rivojini bashorat qilib quyidagilarni yozadi: «Men ishonamanki, o’rganilgan masalalar faqat qimor o’yinlariga tegishli bo’lmasdan, ular chuqur g’oyalarga boy qiziqarli fanga asos bo’lishini his qilaman».
Yuqorida nomlari keltirilgan, ehtimollar nazariyasini yuzaga kelishida muhim rol o’ynagan olimlar ro’yxatidan ko’rinadiki, ular, asosan, fizikada katta ixtirolar kashf qilgan shaxslar bo’lgan. Mashhur klassik matematik olimlar D.Gilbert, A.Puankare ham ehtimollar nazariyasini fizikadagi mustaqil yo’nalish deb hisoblaganlar. Bu fikr XX asrning 30-yillarigacha, to akademik A.N.Kolmogorov ehtimollar nazariyasini aniq aksiomalar sistemasi asosida qurish mumkinligini isbotlaganiga qadar davom etgan. Ehtimollar nazariyasining fan sifatida asrlar davomida shakllanib borishini quyidagicha izohlash mumkin: XVII asrda ehtimollar nazariyasining boshlang’ich davri bo’lib, u qiziqarli, lekin amaliy ahamiyatga ega bo’lmagan, ko’ngilochar qimor o’yinlariga tegishli bo’lgan masalalar majmuasidan iborat bo’lgan. XVIII asrda ehtimollar nazariyasini amaliyotda qo’llash mumkinligini asoslab beradigan «katta sonlar qonuni» kashf etilgan. Bu qonun (teorema) shveytsariyalik olim Yakob Bernulli tomonidan (vafotidan so’ng 1713 yilda) chop etilgan. Akademik A.A.Borovkovning fikricha, Bernullining «katta sonlar qonuni» birinchi «klassik teorema» hisoblanib, u hozirgi zamon matematika va mexanikaning asosiy yo’nalishlaridan biri «dinamik sistemalar» nazariyasini yuzaga kelishida ham asosiy rol o’ynagan. Bu qonunning fizik ma’nosi quyidagi xulosadan iborat: o’rganilayotgan sistemaning vaqt bo’yicha o’rtacha holati (bu tasodifiy holat), uning fazoviy o’rtacha holatiga (tasodifiy bo’lmagan deterministik holatga) yaqinlashadi. Demak, «katta sonlar qonuni» o’rinli bo’lsa, vaqt o’tgan sari tasodifiylik yo’qolib boradi va fizik sistemaning limitdagi holati deterministik xarakterda bo’ladi. Aytilganlardan ko’rinadiki, agar «katta sonlar qonuni» o’rinli bo’lmasa, vaqt o’tgani bilan tasodifiylik yo’qolmaydi va o’rganilayotgan fizik sistema uchun turg’unlik (aniqlik, deterministik ) sifat yuzaga kelmaydi.
Umuman aytganda, ehtimollar nazariyasining amaliyotda o’rganilayotgan sistema uchun qo’llanishi, «katta sonlar qonuni» orqali amalga oshiriladi. Aytib o’tilganlardan tashqari, bu asrlarda ehtimollar nazariyasining demografiya (aholishunoslik) faniga tegishli bo’lgan amaliy masalalarini yechishga tatbiq etila boshlashi, ayniqsa, tasodifiy voqealarga bog’liq tasodifiy – sug’urta sistemasining yuzaga kelishi munosabati bilan (birinchi marta Angliyada dengiz transport sistemasida) bu nazariyaning ahamiyati osha boshladi.
XIX asrda ehtimollar nazariyasi fan sifatida e’tirof etildi. Bu jarayonda mashhur matematik olimlardan Laplas va Puassonning roli juda salmoqli hisoblanadi. Masalan, ko’p yillar davomida ehtimollar nazariyasi bo’yicha yagona darslik hisoblangan «Analitik ehtimollar nazariyasi» kitobi Laplas tomonidan 1826-yilda chop etilgan. XIX asrning ikkinchi yarmida ehtimollar nizariyasining rivojlanishiga mashhur rus matematiklaridan P.L. Chebishev, A.B. Bunyakovskiy, A.A. Markovlar katta hissa qo’shganlar. XX asrga kelib ehtimollar nazariyasi mustaqil matematik fan sifatida shakllandi. Ayniqsa, bu fanni ma’lum aksiomalar sistemasi (Kolmogorov tomonidan taklif qilingan) asosida qurish mumkinligi, aytish mumkinki, u inqilobiy xarakterga ega bo’ldi. Bu jarayonda mashhur matematiklar E. Borel (Fransiya), Fon Mizes (Germaniya), S.N.Bernshteyn (Rossiya) kabi olimlarning ijodi ham katta rol o’ynadi. Ehtimollar nazariyasi aksiomatik fan sifatida tan olingandan so’ng, uning ravnaqi uchun keng istiqbollar ochildi. Birinchi navbatda uning to’plamlar nazariyasi bilan aloqadorligi, XIX asr davomida ehtimollar nazariyasini hozirgi zamon matematikasining eng ilg’or yo’nalishlaridan biriga aylantirdi. XX asrning birinchi yarmida ehtimollar nazariyasi bilan bir qatorda matematik statistika fani ham ro’yobga keldi. Bunda K.Pirson (Angliya), J.Neyman (AQSH), N.V.Smirnov (Rossiya), A.N.Kolmogorov (Rossiya) V.I.Romanovskiy (O’zbekiston) singari fan arboblarining hissasi juda ham buyukdir. O’zbekistonda vatandoshlarimiz akademik olimlar V.I. Romanovskiy (1879-1954),
T.A. Sarimsoqov (1915-1995), S.X. Sirojiddinov (1920-1988) asos solgan «ehtimollar nazariyasi va matematik statistika» maktabi tashkil topdi va bu maktabda bajarilgan ilmiy tadqiqotlar keng jahon matematiklari jamoatchiligi tomonidan e’tirof etilgan. Hozirgi paytda ham O’zbekistonda «Ehtimollar nazariyasi va matematik statistika» maktabi doirasida quyidagi:
a) Tasodifiy miqdorlarni qo’shish nazariyasi va uning tatbiqlari;
b) Tasodifiy jarayonlar nazariyasi (Markov zanjirlari, tarmoqla-nuvchi tasodifiy jarayonlar, ommaviy xizmat ko’rsatish nazariyasi va boshqalar);
d) Taqsimotlarning no’malum bo’lgan parametrlarini statistik baholash nazariyasi yo’nalishlarida ilmiy tatqiqotlar olib borilmoqda.
Masalan, Markov zanjirlari nazariyasini rivojlantirishga taniqli olimlar V.I.Romanoskiy, T.A.Sarimsoqov va S.H.Sirojiddinovlar katta hissa qo’shdilar hamda limitik teoremalarni Markov zanjirlari sxemasi bo’yicha tekshirishda muhim ilmiy natijalarni qo’lga kiritdilar.
Bu tatqiqotlar S.H.Sirojiddinov rahbarligida va bevosita ishtirokida taniqli matematiklar S.V.Nagaev, T.A.Azlarov, T.L.Malevich, Sh.Q.Farmonov, M.O’.G’ofurov va boshqalar tomonidan bajarildi. Hozirda tasodifiy va shoxlanuvchi jarayonlar nazariyasi, ommaviy xizmat ko’rsatishning matematik nazariyasi, statistikaning noparametrik masalalari bo’yicha katta tatqiqotlar, yuqorida aytib o’tilgan yo’nalishlar bo’yicha O’zbekistonda hozirgi zamon ehtimollar nazariyasi va matematik statistikaning jahon standartlariga mos keluvchi ilmiy tatqiqot ishlari olib borilmoqda. O’zbekistonda matematikaning stoxastika yo’nalishini rivojlanishiga katta hissa qo’shgan ilmiy dargohlardan biri hozirgi O’zbekiston Milliy universiteti va O’zbekiston Fanlar Akademiyasi hisoblanadi. Bu yerda o’tgan asrning yigirmanchi yillaridan boshlab respublikamizda matematika yo’nalishida dunyoga tanilgan olimlar tarbiya topdi. Professor V.I.Romanovskiy rahbarligida bir guruh o’zbek olimlari Qori Niyoziy, T.Sarimsoqov, S.Sirojiddinov va boshqa olimlar o’zlarining ilmiy ishlari bilan tanila boshladilar. Keyinchalik N.Romanov, L.Volkoviskiy, M.Sultonova, M.Sobirov, M.Xojimullaev, M.Solahiddinov, N.Satimov, Sh.Alimov, Sh.Ayupov, T.Jo’raev, Sh.Q.Farmonov, M.O’.G’ofurov va boshqalar O’zbekiston matematikasini dunyoga tanitdilar.