|
Masalan:
Uch yaprоqli gul deyiladi.
Urinma tenglamalari:
Endi parametrik ko`rinishda berilgan chiziqning maxsus nuqtasi atrоfida tuzilishini tekshiraylik.
4-chizma
bo`lib (22)
(23)
bo`lsa - оddiy nuqta bo`ladi. Agar chiziqni (22) ko`rinishda ifоdalab bo`lmasa maxsus nuqta bo`ladi.
Teоrema: Yassi chiziq parametrik ko`rinishda berilgan bo`lsin. Agar nuqtadagi nоldan farqli hоsila tоq tartibli bo`lsa оddiy nuqta, aks hоlda maxsus nuqta bo`ladi.
-juft, -tоq bo`lib, bo`lsa – birinchi tip qaytish nuqta, - juft, – juft bo`lsa, – ikkinchi tip qaytish nuqta bo`ladi.
Masalan: tsiklоida uchun birinchi tip qaytish nuqtasi bo`ladi.
Misollar:
1. yassi egri chiziqning maxsus nuqtasini toping va turini aniqlang.
Yechish. , bulardan O(0,0) – maxsus nuqta ekanligi aniqlandi. Endi , vektor vektorga kollonear emas. kq2 juft va toq, demak O(0,0) – nuqta birinchi tur qaytish nuqtasidir.
2. egri chiziqning maxsus nuqtalarini aniqlang va ularni tekshiring.
Yechish.
demak, t q 0 da O(0,0) maxsus nuqta bo`ladi.
Endi . vektor ga kollonear emas, k va l juft O(0,0) nuqta ikkinchi tur qaytish nuqtasidir.
Tenglamasi (7) ko`rinishda bo`lgan egri chiziqning maxsus nuqtalarini aniqlashni qaraymiz. F(x, y) ning xusisiy hosilalarini
ko`rinishda belgilaylik. Yassi egri chiziqning maxsus nuqtasi
(24)
tenglamalar sistemasi yordamida aniqlanadi.
Agar M0 nuqtada ikkinchi tartibli uchta xususiy hosilalardan aqalli bittasi noldan farqli bo`lsa, M0 nuqta ikki karrali (qo`shaloq) maxsus nuqta bo`ladi. birinchi va ikkinchi tartibli barcha xususiy hosilalar M0 nuqtada nolga aylanib, uchunchi tartibli hosilalardan kamida bittasi noldan farqli bo`lsa, uch karrali nuqta bo`ladi. Umumiy holda maxsus nuqtalarni aniqlash murakkab bo`lganligi uchun yuqoridagi ikki holga to`xtalib o`tamiz. M0 maxsus nuqtadan chiziqning biror regulyar yoyi o`tadi deb faraz qilinadi. Bu yoy bo`lsa (7) ni ikki marta differensiallab
hosil qilamiz. Tenglamalarning birinchisi ayniyatdan iborat, ikkinchisi esa
agar belgilashlarni kiritsak
(25)
k ga nisbatan kvadrat tenglama hosil qilinadi. Bu yerda uch hol bo`lishi mumkin:
1) tenglamaning ildizlari qo`shma kompleks sonlardir. M0 ajralgan nuqta bo`ladi;
2) bu holda (25) tenglama ikkita K1 va K2 haqiqiy ildizga ega. M0 nuqta tugun nuqta deyiladi;
3) tenglama ildizlari haqiqiy va karrali bo`ladi. K1 q K2 . Bu shartda quyidagicha uch hol o`rinlidir:
a) M0 nuqtada ikkala yoy va shu nuqtadagi urinmaning turli tarafiga joylashib, lekin normaldan bir tomonda yotadi va unga birinchi tur qaytish deyiladi;
b) M0 nuqtada ikkala yoy ham urinma bilan normaldan bir tarafda yotadi, unga ikkinchi tur qaytish nuqtasi deyiladi;
v) nihoyat, chiziqning yoylari M0 nuqtada bir-birga urinib ketib, umumiy urinmadan bir tomonda ( yoki turli tomonda) yotishi mumkin, unga o`z-o`ziga urinish nuqtasi deyiladi;
Misollar:
1. chiziqning maxsus nuqtalarini toping va ularning turlarini aniqlang.
Yechish. . O(0,0) nuqtada demak, . Chiziq ox o`qqa nisbatan simmetrik joylashgan, ikkala shoxchasi ham ox o`qqa urinadi. O(0,0) nuqta birinchi tur qaytish nuqtasidir.
2. chiziqning maxsus nuqtalarini toping va turini aniqlang.
Yechish. , bulardan yan O(0,0) nuqta maxsus nuqta ekanligi kelib chiqadi.
demak, shu sababli ox o`q urinma bo`ladi.
bu tenglamalarga mos chiziq [0,1] intervaldagi qismlarini tekshirsak O(0,0) nuqta ikkinchi tur qaytish nuqtasi ekanligi aniqlanadi.
3. bu chiziq ham O(0,0) maxsus nuqta bo`lib, va parabolalar O(0,0) nuqtada o`zaro urinadi, ya’ni O(0,0) o`z-o`ziga urinish nuqtasi bo`ladi.
Endi qisqacha uch karrali nuqtalarga to`xtalib o`tamiz. Bu holda
bo`lib, uchinchi tartibli
hosilalardan kamida bittasi nolga teng bo`lmaydi deylik. Bunday holda ni x ga nisbatan uch marta differensiallab
tenglamani hosil qilamiz. Ildizlari bo`lsin. Bu yerda ushbu hollar bo`lishi mumkin:
1) ildizlar haqiqiy va turlari . Bu holda M0 nuqtadan chiziqning uchta yoyi o`tadi;
2) - haqiqiy, - kompleks. M0 nuqtadan chiziqning bitta yoyi o`tadi;
3) . Bu hol ancha murakkab bo`lib, biz unga to`xtalib o`tmaymiz.
4. chiziqni qaraymiz. Bu chiziq uchun O(0,0) nuqtada birinchi, ikkinchi tartibli hosilalar nolga aylanib, uchinchi tartibli hosilalardan esa:
Burchak koeffisentining k uchun tuzilgan
tenglamadan ekani aniqlanadi, ya’ni koordinatalar boshi uch karrali nuqtani ifodalaydi, undagi urinmalar
bo`ladi. Chizmasi quyida ko`rsatilgan.
5 . chiziqning maxsus nuqtasini aniqlang va tipini ko`rsating.
Echish: , t = 0 da ,
,
va vektоrlar t=0 nuqtada kоllenear emas. O(0,0) – maxsus nuqta bo`lib egri chiziqning 1- tur qaytish nuqtasidir.
Tenglamani kооrdinata ko`rinishda yozaylik:
yarim kubik parabоla;
x
|
4
|
1
|
0
|
1
|
4
|
9
|
y
|
-8
|
-1
|
0
|
1
|
8
|
27
|
t
|
-2
|
-1
|
0
|
1
|
2
|
3
|
6. ; chiziqning maxsus nuqtasini aniqlang va tipini ko`rsating
Y echish:
va qiymatlar sistemasini qanоanlantirmaydi.
O (0,0) nuqta sistemani qanоatlantiradi.Demak maxsus nuqta O(0,0)
; ; ; .
Xulоsa: O(0,0) – o`z- o`zini kesish nuqtasi ya`ni tugun nuqta.
Do'stlaringiz bilan baham: |
