Egilishda ko’chishlarni aniqlash

2. Balka egilgan o’qining differenstial tenglamasi va uni integrallash
Egilishdagi ko’chishlarni aniqlash uchun balka elastik chizigining tenglamasi ma’lum bo’lishi kerak. Balka o’qining egriligini eguvchi moment bilan boglovchi formuladan foydalanamiz:

bunda: - egrilik radiusi; _­ – eguvchi moment; – balkaning bikrligi.
Matematik analizdan chiziqning egrilik formulasi ma’lum:


Ifodalarning o’ngdagi qismlarini tenglashtirib, balka elastik chizigining aniq differenstial tenglamasini olamiz:
(2)
Uzluksiz kichik qiymat ni hisobga olmay balka elastik chizigining taqribiy differenstial tenglamasini olamiz: .

Ishora qabul qilingan koordinatalar tizimiga qarab tanlanadi. O’q u yuqoriga yo’nalganda tenglama quyidagi ko’rinishda ishlatiladi:

(3)

chunki eguvchi moment va egrilik bir xil ishoralarga ega (19.2- shakl)

2- shakl
(3) tenglamani bir marta integrallab, ogish burchaklari tenglamasini olamiz:

(4)
Uni ikkinchi marta integrallab, salqiliklar tenglamasini olamiz:

(5)
bunda: S va D – integrallash doimiylari.

Integrallash doimiylari chegaraviy shartlardan, ya’ni balkaning mahkamlanish shartlaridan aniqlanadi (3 - shakl).

3 -shakl
Balkalar deformastiyasini aniqlashga oid misollarni ko’rib chiqamiz.

1 – misol. Bir uchi qistirilgan va erkin uchiga to’plangan R kuch qo’yilgan balkaning eng ko’p salqiligini va kesimining ogish burchagini aniqlang (4 - shakl).

4- shakl

Koordinatalar boshi (0 nuqta) dan

z masofadagi kesimdagi eguvchi

moment, .Balka elastik

chizigining differenstial

tenglamasi: .

Birinchi marta integrallasak .

Ikkinchi marta integrallasak

Integrallash doimiylari S va D ni chegaraviy

shartlardan aniqlaymiz:

1) = da ;

2) = da

Birinchi shartdan

Ikkinchi shartdan ,

bundan

Kesimlarning ogish burchaklari va salqilik tenglamalari

Tenglamalardan ko’rinadiki, _max va u_max balkaning erkin uchida ( =0 bo’lganda) yuz beradi
va
Ogish burchagining musbat qiymati kesim soat miliga teskari, manfiy qiymati esa – soat mili yo’nalishida ogishini ko’rsatadi.

Salqilikning manfiy qiymati esa, balka ko’ndalang kesimining ogirlik markazi u o’qqa teskari yo’nalishda, musbat qiymati – u o’q yo’nalishida siljishini ko’rsatadi, z=0 da quyidagicha bo’lishini ta’kidlaymiz:

va

Bunda: va – koordinatalar boshida kesimning ogish burchagi va salqilik.

Integrallash doimiylarining o’lchamliligi:

S - KNm² va D - KNm³.

2 – misol. q jadallikdagi ogirlik bilan yuklangan bir qulochli balka

(5 - shakl) qulochining o’rtasidagi salqilikni va tayanchlardagi kesimlarning ogish burchaklarini aniqlang.

Balkaning tayanch reakstiyalari Koordinatalar boshi (V nuqta) dan masofada yotgan kesimdagi eguvchi moment

Balka elastik chizigining differenstial tenglamasi:

19.5- shakl.

Integrallab ushbuni olamiz:

Integrallash doimiylari S va D ni

5- shakl

chegaraviy shartlardan aniqlaymiz:

1) =0 da =0;

2) = da =0.

Birinchi shartdan =0.

Ikkinchi shartdan

bundan:

Balka kesimining ogish burchaklari va salqiliklar tenglamalari:

Eng katta salqilik z=/2 da balka qulochining o’rtasiyada paydo bo’ladi:

z=0 da V tayanchdagi kesimning ogish burchagi:

soat mili yurishi yo’nalishida

z= da tayanch S dagi kesimning ogish burchagi

soat mili yurishi yo’nalishiga teskari.