Egamqulov

Tayanch ibora va tushunchalar

Oshkor va oshkormas shakilda berilgan differensial teglamalar differensial tenglamaning umumiy va xususiy yechimlari, boshlang’ich shartlar, tartibini pasaytirish mumkin bo’lgan tenglamalar.

1. 
   Umumiy tushunchalar.
   

Birinchi tartibdan yuqori tartibga ega bo’lgan barcha differensial tenglamalar yuqori tartibli differensial tenglamalar deyiladi.
n – tartibli tenglama hosiladan tashqari quyi tartibli hosilalarga ham ega bo’lishi mumkin, shuning uchun bunday tenglamaning umumiy ko’rinishi simvolik ravishda (1.1) ko’rinishda, yoki, agar mumkin bo’lsa, yuqori hosilaga nisbatan yechilgan ko’rinishda: (1.2) bo’ladi.
Birinchi tartibli tenglamalar uchun bo’lgani kabi, bu yerda ham umumiy yechim ixtiyoriy o’zgarmaslarga bog’liq bo’ladi.Shu sababli umumiy yechimdan xususiy yechimni ajratib olish uchun ixtiyoriy o’zgarmaslarni aniqlashga imkon beradigan ba’zi qo’shimcha shartlar ham berilgan bo’lishi kerak. Birinchi tartibli tenglama uchun bunday qo’shimcha shart qiymatning, ya’ni inregral egri chiziq o’tadigan nuqta koordinatalarining berilishi edi. Yuqori tartibli tenglamalar uchun bu shartlarni turli usullar bilan berish mumukin. Masalan, quyida ko’rsatilishicha, ikkinchi tartibli tenglama uchun umumiy yechim ikkita ixtiyoriy o’zgarmasga bog’liq bo’ladi. Ularni topish uchun ikkita shartga ega bo’lish kerak. Bu shartlarni izlanayotgan funksiyaning ikkita nuqtadagi qiymatini yoki izlanayotgan funksiyaning va uning birinchi hosilasining bitta nuqtadagi qiymatlarini berish bilan hosil qilish mumkin.
Ikkinchi usul mexanika masalalarini hal etishda keltirilib chiqariladigan differensial tenglamalarni yechishda keng qo’llaniladi. Haqiqatan ham, agar mexanika terminlaridan foydalanadigan bo’lsak,so’z harakat qonuni to’g’risida ketayotgan bo’ladi, shu bilan birga nuqtaning boshlang’ich holati (funksiya qiymati) va uning boshlang’ich tezligi (birinchi hosila) berilgan bo’ladi. Shuning uchun xususiy yechimini umumiy yechimdan funksiyaning biror nuqtadagi berilgan qiymati va uning birinchi hosilasi bo’yicha topish boshlang’ich shartlari berilgan masala deyiladi.
Tartibi n bo’lgan tenglamalar uchun boshlang’ich shartlar sifatida izlanayotgan funksiyaning va uning (n-1) - tartibgacha barcha hosilalarining birorta nuqtada qiymatlari, ya’ni da (1.3) sonlar sistemasi bo’shlang’ich shartlar sistemasi deyiladi.
Berilgan (1.2) differensial tenglamaning (1.3) boshlang’ich shartlar sistemasini qanoatlantiruvchi xususiy yechimini topish Koshi masalasi deyiladi.Koshi birinchi bo’lib yechimning mavjudligi va yagonaligi to’g’risida teoremani isbotladi, uni quyidagicha ta’riflash mumkin.