E. Морозова Художественный редактор В. Земских Верстка E. Ермолаенкова, В. Зассеева Корректоры T. Христин, С. Шаханова ббк

Глава 4. Индивидуальный и рыночный спрос 139 
Чтобы определить спрос отдельного потребителя на товар, мы выбираем те 
стоимости X и Y, которые максимизируют (А4.1) при условии (А4.2). Если мы 
знаем конкретный вид функции полезности, мы можем непосредственно найти 
спрос на X и Y. Однако даже если мы запишем функцию полезности в ее общем 
виде U(X
1
Y), то описать условия, которые должны выполняться, если потреби­
тель максимизирует свою полезность, можно с помощью методики определения 
оптимума с учетом заданных ограничений. 
Метод множителей Лагранжа 
Метод множителей Лагранжа — это способ максимизировать или минимизиро­
вать функцию, имеющую одно или несколько ограничений. Так как мы будем ис­
пользовать его для анализа вопросов производства и издержек в дальнейшем тек­
сте учебника, то мы приводим подробное описание применения этого метода для 
определения оптимума потребителя с учетом уравнений (А4.1) и (А4,2). 
1. ПОСТАНОВКА ПРОБЛЕМЫ. Сначала мы напишем функцию Лагранжа 
для решения нашей проблемы. Функция Лагранжа — это функция, которая мак­
симизируется или минимизируется (в нашем случае полезность максимизируе­
тся), плюс переменная, которую мы назовем X, умноженная на ограничение (в на­
шем случае бюджетное ограничение потребителя). Вскоре мы интерпретируем 
значение X. Следовательно, функция Лагранжа имеет следующий вид: 
Ф - [7(X, Y) - X(P
x
X+P
Y
Y-I). (A4.3) 
Заметим, что мы записали бюджетное ограничение в виде P
x
X+ P
Y
Y- J = 0, т. е. 
приравняли сумму условий к нулю, после чего подставили эту сумму в функцию 
Лагранжа. 
2. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ ФУНКЦИИ ЛАГРАНЖА. Когда стоимости 
товаров X и У удовлетворяют бюджетному ограничению, то второе условие в урав­
нении (А4.3) равняется 0. Таким образом, задача максимизации сводится к макси­
мизации функции U(Xy Y). Дифференцируя Ф относительно X, Yn X, а затем при­
равнивая производные к нулю, мы можем получить необходимые условия для 
максимума. (Эти условия необходимы в случае «внутреннего» решения, когда по­
требитель покупает положительное количество обоих товаров. Однако решение 
может быть и «угловым», когда потребляется только один товар и ни одной еди­
ницы второго.) В результате мы получаем следующие уравнения: 
Здесь, как и раньше, MU-- это обозначение предельной полезности; другими 
словами, MU
x
 (X
f
 Y) ^dU(X, Y)/дХ, изменение полезности при бесконечно малом 
увеличении потребления товара X. 
3. РЕШЕНИЕ ИТОГОВЫХ УРАВНЕНИЙ. Три уравнения (А4.4) могут быть 
переписаны следующим образом: 
(А4.4) 

---

140 Часть H. Производители, потребители и конкурентные рынки 
F 
Теперь мы можем решить эти три уравнения с тремя неизвестными. Получен­
ные значения X и Y являются решением задачи оптимума потребителя: они пред­
ставляют собой количества товаров, максимизирующие получаемую полезность.