E. Морозова Художественный редактор В. Земских Верстка E. Ермолаенкова, В. Зассеева Корректоры T. Христин, С. Шаханова ббк

Функцию полезности Кобба-Дугласа, которая используется довольно часто, 
можно представить в двух формах; 
и 
• 
Эти формулы эквивалентны при решении задач теории спроса, поскольку обе 
они дают одинаковые функции полезности для товаров X и Y. Мы выведем функ­
ции спроса только для первой формы, а вторую оставим студентам для самостоя-
тельного вывода. 
Чтобы установить функции спроса для X и Yc учетом заданного бюджетного 
ограничения, мы сначала напишем функцию Лагранжа: 
Теперь, дифференцируя эту функцию относительно X, Y и X и приравнивая 
производные к нулю, получаем: 
Первые два условия подразумевают, что 
(А4.13) 
(А4.14) 
Объединив эти выражения с последним условием (бюджетным ограничени­
ем), получаем: 
или X - 1/1. Теперь мы можем подставить это выражение для X обратно в (А4.13) и 
(А4.14), чтобы получить функции спроса: 
В этом примере спрос на каждый товар зависит только от цены этого товара и 
от дохода, но не от цены другого товара. Таким образом, перекрестные эластично­
сти спроса по цене равняются 0. 

---

Глава 4. Индивидуальный и рыночный спрос 143 
Двойственность теории поведения потребителя 
Существуют два способа нахождения оптимума потребителя. Оптимальный вы­
бор между X и У можно рассматривать не только как проблему поиска самой высо­
кой кривой безразличия, которая касается бюджетной линии — максимального 
значения Щ ), но и как проблему выбора самой низкой бюджетной линии, которая 
касается данной кривой безразличия — т. е. минимальных бюджетных расходов. 
Говоря о двух этих возможностях, мы используем термин двойственность 
(duality). Чтобы рассмотреть работу этогЪ принципа, решим двойственную зада­
чу об оптимальном поведении потребителя, которая состоит в минимизации из­
держек достижения конкретного уровня полезности 
Минимизировать 
с учетом ограничения 
Соответствующая функция Лагранжа будет иметь вид: 
(А4.15) 
где ц — это множитель Лагранжа. Дифференцируя Ф относительно X, Yи ц и при­
равнивая производные к 0, мы находим следующие необходимые условия мини­
мизации расходов: 
и 
Решая первые два уравнения, мы видим, что 
Поскольку также справедливо, что 
то сводящий к минимуму издержки выбор X и У должен находиться в точке каса­
ния бюджетной линии и кривой безразличия с уровнем полезности U*. Поскольку 
это та же самая точка, в которой полезность максимизируется в нашем исходном 
случае, то, решив двойственную задачу минимизации расходов, мы получим те же 
функции спроса, что и в случае решения прямой проблемы максимизации. 
Чтобы пронаблюдать двойственный подход в действии, давайте пересмотрим 
пример с функцией Кобба-Дугласа. Алгебра расчетов будет проще, если мы вос­
пользуемся экспоненциальной формой функции полезности Кобба-Дугласа, 
Тогда функция Лагранжа будет выглядеть следующим образом: 
(А4.16) 
Дифференцируя ее относительно X, Y и ц и приравнивая производные к 0, мы 
получаем: 

---

144 Часть II. Производители, потребители и конкурентные рынки 
Умножая первое уравнение на X
1
а второе — на FH складывая их, получаем 
Приравняем / к расходам, которые минимизируют издержки потребителя 
(если человек не тратит весь свой доход, чтобы достичь уровня полезности [/*, U* 
не максимизирует полезность в исходной задаче). Из этого следует, что |i
e
 I/U*. 
Заменяя ц в приведенных выше уравнениях, получаем 
_ » W 
Это те же функции спроса, которые мы вывели ранее. 
Эффект дохода и эффект замещения 
Функция спроса сообщает нам, как изменения в доходе и ценах товаров повлияют 
на любой максимизирующий полезность выбор потребителя. Однако при любом 
изменении цены важно разграничить ту его часть, которая вызывается движением 
вдоль кривой безразличия, и ту часть, которая приходится на движение к другой 
кривой безразличия (и, следовательно, изменяет покупательную способность). 
Чтобы провести это различие, рассмотрим, как изменение цены на товар Xвлияет 
на спрос на него. Как объяснялось в п. 4.2, изменение спроса можно свести к эф­
фекту замещения (изменение в величине спроса при фиксированном уровне по­
лезности) и эффекту дохода (изменение в величине спроса за счет изменения 
уровня полезности при неизменной относительной цене товара X). Мы обознача­
ем изменение спроса на товар X, которое возникает в результате изменения цены 
единицы товара X при неизменной полезности, как 
Таким образом, общее изменение в величине спроса на товар X, возникающее в 
результате изменения P
x
на единицу, составляет 
(А4.17) 
Первое слагаемое в правой части уравнения (А4.17) означает эффект замеще­
ния (поскольку полезность фиксирована); второе слагаемое — эффект дохода (по­
скольку доход возрастает). 
Из бюджетного ограничения потребителя, мы узнаем при помо­
щи дифференцирования, что 
(А4.18) 
Если предположить, что потребитель владеет товарами X и Y
1
то уравнение 
(А4.18) показало бы, что при росте цены товара X на $1 величина дохода, который 
потребитель может получить от продажи этого товара, увеличится на $Х. Теория 
поведения потребителя, однако, не рассматривает потребителя как возможного 
владельца товаров. Из уравнения (А4.18) мы узнаем, в каком потребительском 
доходе нуждается потребитель, чтобы его благосостояние после изменения цены 
осталось таким же, как и до него. По этой причине сейчас чаще пишут, что эффект 
t 
* 

---