E. M. Colocassides College of Tourism & Hotel Management, Doctor of Science in



Download 32,47 Mb.
Pdf ko'rish
bet8/402
Sana30.04.2022
Hajmi32,47 Mb.
#595351
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   402
Bog'liq
Science and Education Volume 2 Issue 12 (2)

 
ва 
x ⊥ y
каби 
белгиланади.
 
Таъриф 3.
 
Агар 
𝑅
фазонинг 
{
𝑥
𝛼
}, 
𝑥 ∈ 𝑅
(
𝐴 −
индексларнинг бирор 
тўплами) элементлари тўплами берилган бўлиб, ундаги ихтиёрий 2 та 
элементлар ўзаро ортогонал бўлса, 
{
𝑥
𝛼
}
система ортогонал система дейилади. 
Ундан ташқари ҳар бир элементнинг нормаси 1 га тенг, яъни 
x

= 1,

∈ А,
бўлса. Унда {
𝑥
𝛼
}-ортонормал система деб аталади. 
Агар 
{𝑥
𝛼
,

∈ 𝐴}
система ортогонал ва барча 

∈ А
 
лар учун 
𝑥

≠ 0
бўлса, унда бу системани «нормаллаштириш»
 
мумкин.
Хақиқатан ҳам берилган системанинг ҳар бир элементини унинг нормасига 
бўлиш ёрдамида янги ортонормалланган 
{
𝑥
𝑎
‖𝑥
𝑎

, 𝛼 ∈ А}
cистемани ҳосил қиламиз. 
Лемма 1.
 
Агар R фазонинг 
{x
α
,

∈ А}
(
A −
индексларнинг бирор тўплами) 
элементлар системаси ортогонал бўлиб, барча 

∈ A
лар учун
x
α
≠ 0
бўлса, у 
ҳолда бу система чизиқли эркли система бўлади. 
Фараз қилайлик, баъзи
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
12


𝑥
𝛼
𝑘
, 𝛼
𝑘
∈ 𝐴, 𝑘 = 1,2, … 𝑛
 
элементлар учун
𝜆
1
𝑥
𝛼
1
+ 𝜆
2
𝑥
𝛼
2
+ ⋯ + 𝜆
𝑛
𝑥
𝛼
𝑛
= 0
тенглик бажарилсин. Фиксирланган 
𝑘
 
учун 
(𝑘 
=
1,2, . . . , 𝑛)
тенгликнинг 
иккала томонини 
𝑥
𝛼
𝑘
га скаляр кўпайтириб,
(𝜆
𝑘
𝑥
𝛼
𝑘
, 𝑥
𝛼
𝑘
) = 0 (1)
бўлишини топамиз, чунки системанинг ортогоналлик шартига кўра 
𝑗 ≠ 𝑘
 
да 
(
𝑥
𝛼
𝑗
, 𝑥
𝛼
𝑘
) = 0
. Шартга кўра, 
𝑥
𝛼
𝑘
≠ 0
бўлгани учун (
𝑥
𝛼
𝑗
, 𝑥
𝛼
𝑘
) ≠ 0
ва (1) 
тенгликка кўра 
𝜆
𝑘
= 0, 𝑘 
=
1,2, . . . , 𝑛.
Бу эса берилган 
{𝑥
𝛼
,

∈ 𝐴
} системанинг 
чизиқли эркли эканлигини билдиради. 
Лемма 2.
 
Агар 
R
фазонинг,
x
1
, … x
n
элементлари системаси учун ушбу 
𝐺(𝑥
1
, … 𝑥
𝑛
) = |
(𝑥
1
, 𝑥
1
) (𝑥
1
, 𝑥
2
) … (𝑥
1
, 𝑥
𝑛

(𝑥
2
, 𝑥
1
) (𝑥
2
, 𝑥
2
) … (𝑥
2
, 𝑥
𝑛
)
… … … … … … … … … … …
(𝑥
𝑛
, 𝑥
1
) (𝑥
𝑛
, 𝑥
2
) … (𝑥
𝑛
, 𝑥
𝑛
)

(2)
 
детерминантнинг қиймати 
0
га тенг бўлса, унда берилган система чизиқли 
боғлиқ бўлади. 
𝐺(𝑥
1
, … 𝑥
𝑛
)
детерминантга берилган системанинг Грамм детерминанти 
дейилади. 
Исбот.
 
𝑛
 
та 

𝑖
, 𝑖 = 1,2, … 𝑛
, номаълумли 
𝑛
 
та чизиқли тенгламалар 
системасини қараймиз:
 
(

1
𝑥
1
+ ⋯

𝑛
𝑥
𝑛
, 𝑥
𝑖
) = 0, 𝑖 = 1, 𝑛
̅̅̅̅̅ (3)
Бундан

1
(𝑥
1
, 𝑥
𝑖
) +

2
(𝑥
1
, 𝑥
𝑖
)+ ⋯ +

𝑛
(𝑥
1
, 𝑥
𝑖
) = 0, 𝑖 = 1, 𝑛
̅̅̅̅̅
бўлишини топамиз. 
Бу 
системанинг 
детерминанти 
Грамм 
детерминантининг 
транспонирланганига тенг ва шартга кўра унинг қиймати 
0
га тенг. Бир жинсли 
тенгламанинг асосий детерминанти 
0
га тенг бўлгани учун (3) система тривиал 
бўлмаган ечимга эга бўлади, яъни 

1
, … 

𝑛
 
ларнинг ҳаммаси бир вақтда 
0
га 
тенг бўла олмайди. Энди (3) тенгликни 

𝑖
 
га кўпайтирамиз ва барча 
𝑖 (𝑖 
=
1, . . . , 𝑛)
лар бўйича тенгликларни қўшиб чиқамиз:
(

1
𝑥
1
+ ⋯ +

𝑛
𝑥
𝑛
,

1
𝑥
1
+ ⋯ +

𝑛
𝑥
𝑛
) = 0

Бундан

1
𝑥
1
+ ⋯ +

𝑛
𝑥
𝑛
= 0.
Бу ердан ушбу тенгликни, яъни,
𝑥
1
, … 𝑥
𝑛
системанинг чизиқли боғлиқ 
эканлигини ҳосил қиламиз. 
1-мисол. Грамм детерминантидан (2) фойдаланиб, 
[0,3]
оралиқда 
𝑦
1
=
1, 𝑦
2
= 𝑥, 𝑦
3
= 𝑒
𝑥
функцияларни чизиқли боғлиқликка текширинг. 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
13


Ечиш.
 
Олдин берилган функциялар учун Грамм детерминантини умумий 
кўринишда ёзиб оламиз ва уларни формулага қўйиб, алмаштиришлар 
бажарамиз:
 
G(𝑦
1
, 𝑦
2
, 𝑦
3
) = |
(𝑦
1
, 𝑦
1
)
(𝑦
1
, 𝑦
2
)
(𝑦
1
, 𝑦
3
)
(𝑦
2
, 𝑦
1
) (𝑦
2
, 𝑦
2
) (𝑦
2
, 𝑦
3
)
(𝑦
3
, 𝑦
1
) (𝑦
3
, 𝑦
2
) (𝑦
3
, 𝑦
3
)
| =
 
|
|
|
∫ 1 ∙ 1𝑑𝑥
3
0
∫ 1 ∙ 𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 1 ∙ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥 ∙ 1𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥 ∙ 𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥 ∙ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
∙ 1𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
∙ 𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
∙ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
|
|
|
.
 
Кўриниб турибдики, бош диагоналга нисбатан симметрик жойлашган 
элементлар ўзаро тенг. Бош диагоналнинг юқорисида жойлашган 
элементларнинг қийматларини топамиз: 
∫ 𝑥𝑑𝑥 =
𝑥
2
2
|
0
3
3
0
=
9
2
; ∫ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥 =
3
0
𝑒
𝑥
|
0
3
= 𝑒
3
− 1; 
∫ 𝑥 ∙ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
= (𝑥𝑒
𝑥
− 𝑒
𝑥
)|
0
3
= 2𝑒
3
+ 1.
Бош диагоналда жойлашган элементлар: 
∫ 𝑑𝑥 = 3 − 0 = 3; ∫ 𝑥
2
𝑑𝑥 =
𝑥
3
3
|
0
3
= 9; 
3
0
3
0
∫ 𝑒
2𝑥
𝑑𝑥
3
0
=
𝑒
2𝑥
2
|
0
3
=
𝑒
6
− 1
2
.
Натижаларни Грамм детерминантига қўямиз ва детерминантни 
ҳисоблаймиз: 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
14


G(𝑦
1
, 𝑦
2
, 𝑦
3
) =
|
|
|
∫ 𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥
2
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑥𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
𝑥
𝑥𝑑𝑥
3
0
∫ 𝑒
2𝑥
𝑑𝑥
3
0
|
|
|
=
|
|
3
9
2
𝑒
3
− 1
9
2
9
2𝑒
3
+ 1
𝑒
3
− 1 2𝑒
3
+ 1
𝑒
6
− 1
2
|
|
 
Бундан
 
G(𝑦
1
, 𝑦
2
, 𝑦
3
) =
3𝑒
6
8
− 3𝑒
3

195
8
≠ 0,
демак 
𝑦
1
= 1, 𝑦
2
= 𝑥, 𝑦
3
= 𝑒
𝑥
функциялар 
[0,3]
оралиқда чизиқли боғлиқ эмас. 
2-мисол. Грамм детерминантидан фойдаланиб, 
[−2, 5]
оралиқда 
𝑦
1
=
15𝑥 + 12, 𝑦
2
= 10𝑥 + 8
функцияларни чизиқли боғлиқликка текширинг. 
Ечиш.
 
Грамм детерминантини тузиб оламиз ва ҳисоблаймиз:
 
G(𝑦
1
, 𝑦
2
) =
|
|
∫ 𝑦
1
2
𝑑𝑥
5
−2
∫ 𝑦
1
𝑦
2
𝑑𝑥
5
−2
∫ 𝑦
2
𝑦
1
𝑑𝑥
5
−2
∫ 𝑦
2
2
𝑑𝑥
5
−2
|
|
=
|
|
∫(15𝑥 + 12)
2
𝑑𝑥
5
−2
∫(15𝑥 + 12)(10𝑥 + 8)𝑑𝑥
5
−2
∫(10𝑥 + 8)(15𝑥 + 12)𝑑𝑥
5
−2
∫(10𝑥 + 8)
2
𝑑𝑥
5
−2
|
|
=
= |
14763
9842
9842
19684/3
| = 0.
G(𝑦
1
, 𝑦
2
) = 0, д
емак 
𝑦
1
= 15𝑥 + 12, 𝑦
2
= 10𝑥 + 8
функциялар 
[−2,5]
оралиқда чизиқли боғлиқ. 
3-мисол. 
𝑦
1
= 1, 𝑦
2
= 𝑠𝑖𝑛𝑥, 𝑦
3
= 𝑐𝑜𝑠𝑥, 𝑦
4
= 𝑠𝑖𝑛2𝑥, 𝑦
5
= 𝑐𝑜𝑠2𝑥, … 𝑦
2𝑛
=
𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥, 𝑦
2𝑛+1
= 𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥
функцияларни 
[−𝜋, 𝜋]
оралиқда чизиқли боғлиқликка 
текширинг. 
Грамм детерминантини биринчи қатори ва биринчи устунида 
𝑦
1
нинг 
қолган барча функцияларга кўпайтмаси жойлашган. Яъни, биринчи қатор ва 
биринчи устунда қуйидаги интеграллар бор: 
∫ 𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑠𝑖𝑛𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑠𝑖𝑛2𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠2𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑠𝑖𝑛3𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
15


∫ 𝑐𝑜𝑠3𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
… ∫ 𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑐𝑜𝑠𝑛𝑥𝑑𝑥.
𝜋
−𝜋
 
Биринчи интегрални ҳисоблаймиз: 
∫ 𝑑𝑥 = 2𝜋.
𝜋
−𝜋
Қолган 
барча 
интегралларнинг 
кўриниши 
бир 
хил, 
яъни: 
∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥 ёки ∫ cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥, 𝑘 ∈ 𝑁.
𝜋
−𝜋
𝜋
−𝜋
∫ cos 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
sin 𝑘𝑥
𝑘
|
−𝜋
𝜋
= 0; ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
cos 𝑘𝑥
𝑥
|
−𝜋
𝜋
= 0.
𝜋
−𝜋
𝜋
−𝜋
Биринчи қатор ва биринчи устуннинг биринчи элементидан ташқари 
барчаси нолга, биринчи элемент эса 
2𝜋
тенг. 
Бош диагоналда
∫ 𝑦
𝑖
𝜋
−𝜋
𝑦
𝑗
𝑑𝑥 = ∫ 𝑦
𝑖
2
𝜋
−𝜋
𝑑𝑥, 𝑖 = 1,2, … 𝑛,
яъни (биринчи элементдан ташқари) 
∫ cos
2
𝑘𝑥 𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ 𝑠𝑖𝑛
2
𝑘𝑥 𝑑𝑥 
𝜋
−𝜋
каби интеграллар жойлашган. 
∫ cos
2
𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
∫(1 + cos 2𝑘𝑥
𝜋
−𝜋
𝜋
−𝜋
)𝑑𝑥 = 𝜋, 
∫ 𝑠𝑖𝑛
2
𝑘𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝜋
−𝜋
∫(1 − cos 2𝑘𝑥)𝑑𝑥 = 𝜋.
𝜋
−𝜋
Грамм детерминантининг қолган элементлари
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
1
𝑥 ∙ sin 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
∫ cos 𝑘
1
𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥 ёки ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
1
𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥 
𝜋
−𝜋
𝜋
−𝜋
кўринишга эга. 
𝑐𝑜𝑠 𝑘
1
𝑥 ∙ sin 𝑘
2
𝑥
тоқ функция, демак
∫ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
1
𝑥 ∙ sin 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥 = 0.
𝜋
−𝜋
Қолган интегралларни ҳисоблаймиз: 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
16


∫ cos 𝑘
1
𝑥 ∙ 𝑐𝑜𝑠 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝜋
−𝜋
∫(cos(𝑘
1
𝑥 − 𝑘
2
𝑥) + cos(𝑘
1
𝑥 + 𝑘
2
𝑥))
𝜋
–𝜋
𝑑𝑥 =
1
2
∫(𝑐𝑜𝑠(𝑘
1
− 𝑘
2
)𝑥 + 𝑐𝑜s(𝑘
1
+ 𝑘
2
)𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
–𝜋
1
2
(
𝑠𝑖𝑛(𝑘
1
− 𝑘
2
)𝑥
𝑘
1
− 𝑘
2
+
𝑠𝑖𝑛(𝑘
1
+ 𝑘
2
)𝑥
𝑘
1
+ 𝑘
2
)|
–𝜋
𝜋
= 0,
∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
1
𝑥 ∙ 𝑠𝑖𝑛 𝑘
2
𝑥 𝑑𝑥 =
1
2
𝜋
−𝜋
∫(𝑐𝑜𝑠(𝑘
1
𝑥 − 𝑘
2
𝑥) − 𝑐𝑜𝑠(𝑘
1
𝑥 + 𝑘
2
𝑥))
𝜋
–𝜋
𝑑𝑥 =
1
2
∫(𝑐𝑜𝑠(𝑘
1
− 𝑘
2
)𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑘
1
+ 𝑘
2
)𝑥)𝑑𝑥 =
𝜋
–𝜋
1
2
(
𝑠𝑖𝑛(𝑘
1
− 𝑘
2
)𝑥
𝑘
1
− 𝑘
2

𝑠𝑖𝑛(𝑘
1
+ 𝑘
2
)𝑥
𝑘
1
+ 𝑘
2
)|
–𝜋
𝜋
= 0.
Грамм детерминантининг бош диагоналида жойлашган элементларидан 
ташқари барча элементлари нолга тенг экан. Бош диагоналнинг биринчи 
элементи 
2𝜋
, қолган элементлари
𝜋
га тенг. 
G(𝑦
1
, 𝑦
2
, … 𝑦
𝑛
) =
|
|
2𝜋
0 0 … 0 0
0
𝜋
0 … 0 0
0
0 𝜋 … 0 0
… …
… … … …
0
0 0 … 𝜋
0
0
0 0 … 0 𝜋
|
|
= 2𝜋
𝑛+1
.
Демак, 
G(𝑦
1
, 𝑦
2
, … 𝑦
𝑛
) = 2𝜋
𝑛+1
≠ 0
бўлганлиги 
учун 
қаралаётган 
функциялар 
[−𝜋, 𝜋]
оралиқда чизиқли боғлиқсиз. 
Мақолада келтирилган Грамм детерминанти ҳақидаги маълумотлар кенг 
амалий аҳамиятга эга. Хусусан, олиб борилаётган бир қатор илмий ишларда [1-
18] чизиқли фазо, ортогонал ва ортонормал системалар, берилган функциялар 
системаларини чизиқли боғлиқлиги ёки чизиқли боғлиқмаслиги чуқур 
ўрганилган. Талабаларга бериладиган билим сифатини ошириш мақсадида 
илғор педагогик технологиялардан фойдаланилса [19-28] мақсадга мувофиқ 
ҳисобланади. Тажрибалар шуни кўрсатмоқдаги, машғулотлар давомида 
математиканинг амалиётга тадбиқларига бағишланган илмий ишлар [29-30] 
ҳақида қисқача маълумотлар берилиши, талабаларда фанга бўлган қизиқишни 
ортиши ва дунёқарашларини кенгайишига сабаб бўлади. 

Download 32,47 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   ...   402




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish