E. M. Colocassides College of Tourism & Hotel Management, Doctor of Science in

разделов в математике, например теории обобщенных функций. Она связана с 
такими именами, как Шварц, Микусинский Дж. и Темпл Дж.. Благодаря этой 
работе ряды Фурье стали применимы для решения уравнений и задач, в 
которых фигурируют интуитивные понятия: точечный заряд, точечная масса, 
магнитные диполи, а также сосредоточенная нагрузка на балке. 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
38

---

Ряды Фурье, в соответствии с принципами интерференции, начинаются с 
разложения сложных форм на более простые. Например, изменение теплового 
потока объясняется его прохождением сквозь различные препятствия из 
теплоизолирующего материала неправильной формы или изменением 
поверхности земли - землетрясением, изменением орбиты небесного тела - 
влиянием планет. Как правило, подобные уравнения, описывающие простые 
классические системы, элементарно решаются для каждой отдельной волны. 
Фурье показал, что простые решения также можно суммировать для получения 
решения более сложных задач. Выражаясь языком математики, ряды Фурье - 
это методика представления выражения суммой гармоник - косинусоид и 
синусоид. Поэтому данный анализ известен также под именем «гармонический 
анализ». 
С развитием компьютеров преобразования Фурье поднялись на 
качественно новый уровень. Данная методика прочно закрепилась практически 
во всех сферах науки и техники. В качестве примера можно привести цифровой 
аудио и видеосигнал. Его реализация стала возможной только благодаря 
теории, разработанной французским математиком в начале девятнадцатого 
века. Так, ряд Фурье в комплексной форме позволил совершить прорыв в 
изучении космического пространства. Кроме того, это повлияло на изучение 
физики полупроводниковых материалов и плазмы, микроволновой акустики, 
океанографии, радиолокации, сейсмологии. 
Также, дополнительно можно сказать, что преобразования Фурье знаменит 
на весь мир, что практическая польза его рядов буквально неисчислима. Их 
удобно применять там, где есть какие-либо колебания или волны: акустика, 
астрономия, радиотехника и т.д. Самый простой пример его использования: 
механизм работы фотоаппарата или видеокамеры. Если объяснять вкратце, эти 
устройства записывают не просто картинки, а коэффициенты рядов Фурье. И 
работает это везде - при просмотре картинок в интернете, фильма или 
прослушивании музыки. Именно благодаря рядам Фурье мы сейчас можем 
прочитать эту статью со своего мобильного телефона. Без преобразования 
Фурье нам не хватило бы никакой пропускной способности Интернет-
соединений, чтобы просто посмотреть видео на YouTube даже в стандартном 
качестве. 
В математике ряд Фурье является способом представления произвольных 
сложных функций суммой более простых. В общих случаях количество таких 
выражений может быть бесконечным. При этом, чем больше их число 
учитывается при расчете, тем точнее получается конечный результат. Чаще 
всего в качестве простейших используют тригонометрические функции 
косинуса или синуса. В таком случае ряды Фурье называют 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
39

---

тригонометрическими, а решение таких выражений - разложением гармоники. 
Этот метод играет важную роль в математике. Прежде всего, 
тригонометрический ряд дает средства для изображения, а также изучения 
функций, он является основным аппаратом теории. Позволяет решать ряд задач 
математической физики. Способствовала развитию математического анализа, 
вызвала к жизни целый ряд весьма важных разделов математической науки 
(теорию интегралов, теорию периодических функций). 
В настоящее время уже давно является осмысленным тот факт, что теория 
рядов Фурье существенно зависит от понятия интеграла. Принимая в формулах 
Фурье все более и более общее определение интеграла (Коши, Римана, Лебега, 
Данжуа), все более и более будем расширять класс тригонометрических рядов 
Фурье. 
Для такого математического приема, как разложение функций в 
тригонометрический ряд Фурье, придется брать интегралы. В общем виде 
тригонометрический ряд Фурье записывают в виде бесконечной суммы: 
𝑎
0
2
+ ∑ 𝑎
𝑛
cos 𝑛𝑥 + 𝑏
𝑛
𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥
∞
𝑛=1
,
где
𝑎
0
=
1
2𝜋
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥, (2)
𝜋
−𝜋
𝑎
𝑛
=
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥,
𝜋
−𝜋
(3)
𝑏
𝑛
=
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖 𝑛 𝑛𝑥 𝑑𝑥, 𝑛 = 1,2, … 
𝜋
−𝜋
. (4)
Если каким-то образом сможем посчитать бесконечное количество 
𝑎
𝑛
и 
𝑏
𝑛
(они и называются коэффициентами разложения Фурье), то полученный ряд в 
результате будет на 100% совпадать с исходной функцией 
𝑓(𝑥)
на отрезке от 
−𝜋
до
𝜋
. Такой отрезок обусловлен свойствами интегрирования синуса и 
косинуса. Чем больше, для которого мы рассчитаем коэффициенты разложения 
функции в ряд, тем точнее будет это разложение.
 
Например, 
рассмотрим функцию 
𝑦 = 5𝑥
и разложим ее в 
тригонометрический ряд Фурье. Тогда по 
(2 − 4)
находим 
𝑎
0
=
1
2𝜋
∫ 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 =
1
2𝜋
𝜋
−𝜋
∫ 5𝑥 𝑑𝑥 = 0 ,
𝜋
−𝜋
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
40

---

𝑎
𝑛
=
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥) cos 𝑛𝑥 𝑑𝑥 =
1
𝜋
𝜋
−𝜋
∫ 5𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 = 0,
𝜋
−𝜋
𝑏
𝑛
=
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥)𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 =
1
𝜋
𝜋
−𝜋
∫ 5𝑥 𝑠𝑖𝑛 2𝑥 𝑑𝑥 = (−1)
𝑛+1
10
𝑛
,
𝜋
−𝜋
𝑛 = 1, 2, … .
В случае с такой функцией мы можем сразу сказать, что все 
𝑎
𝑛
= 0, 𝑛 =
0,1,2, … .,
а коэффициенты 
𝑏
𝑛
придется вычислять. Если возьмем первые четыре 
члена разложения в ряд Фурье для функции
𝑦 = 5𝑥
, получим: 
5𝑥 ≈ 10𝑠𝑖𝑛𝑥 − 5𝑠𝑖𝑛2𝑥 +
10
3
𝑠𝑖𝑛3𝑥 −
5
2
𝑠𝑖𝑛4𝑥.
График получившейся функции будет выглядеть следующим образом 
рис.1: 
Рис.1 
Получившееся разложение в ряд Фурье приближается к нашей исходной 
функции. Если мы возьмем большее количество членов ряда, например, 
𝑛 = 15
, 
то увидим уже следующее рис.2: 
Рис. 2 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
41

---

Чем больше членов разложения в ряд, тем выше точность. 
Пример 2. Разложить в ряд по синусам функцию 
𝑦 = 𝑥
2
(0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋)
.
Продолжим эту функцию нечетным образом на 
[−𝜋, 0]
и затем 
периодически с периодом 
2𝜋
на всю действительную ось. Тогда ряд Фурье этой 
функции 
𝜑(𝑥)
будет состоять только из синусов:
𝑏
𝑛
=
2
𝜋
∫ 𝑥
2
𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 =
2𝜋(−1)
𝑛+1
𝑛
𝜋
0
+
4
𝜋𝑛
3
[(−1)
𝑛+1
− 1] .
Таким образом,
𝜑(𝑥) = ∑ 𝑏
𝑛
𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥.
∞
𝑛=1
График этого ряда изображен на рис. 3.
Рис.3 
Пример 3. Разложить функцию в тригонометрический ряд Фурье: 
𝑓(𝑥) = {
3𝑥, −𝜋 < 𝑥 ≤ 0,
1, 0 < 𝑥 < 𝜋.
Заданная функция непериодическая. Для вычисления коэффициентов 
Фурье используем формулы 
(2 − 4)
:
𝑎
0
=
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
1
𝜋
(3 ∫ 𝑥𝑑𝑥 +
0
−𝜋
∫ 𝑑𝑥
𝜋
0
) =
𝜋
−𝜋
1
𝜋
(−
3
𝜋
𝜋
2
+ 𝜋) =
2 − 3𝜋
2
;
𝑎
𝑛
=
1
𝜋
(3 ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥𝑑𝑥 +
0
−𝜋
∫ cos 𝑛𝑥𝑑𝑥
𝜋
0
) =
1
𝜋
(
3
𝑛
2
−
3 cos 𝜋𝑛
𝑛
2
−
3 𝜋 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛
𝑛
+
𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛
𝑛
) =
= {
−
3
𝑛𝑛
2
, 𝑛 = 2𝑘,
0, 𝑛 = 2𝑘 − 1, 𝑘 ∈ 𝑁;
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
42

---

𝑏
𝑛
=
1
𝜋
(3 ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 +
0
−𝜋
∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥
𝜋
0
) =
1
𝜋
(
3 sin 𝜋𝑛
𝑛
2
−
3 𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑛
𝑛
+
1
𝑛
−
𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑛
𝑛
) =
{
−
3
𝜋𝑛
, 𝑛 = 2𝑘,
3 + 𝜋
𝜋𝑛
, 𝑛 = 2𝑘 − 1, 𝑘 ∈ 𝑁.
После некоторых вычислений получим 
𝑓(𝑥) =
2 − 3𝜋
2
∙ ∑ (
3(1 + (−1)
𝑛
)
2𝜋𝑛
cos 𝑛𝑥 +
6 + (−1)
𝑛+1
𝜋 + 𝜋
2𝜋(−1)
𝑛+1
𝑛
) 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥 .
∞
𝑛=1
Пример 4. Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье 
𝑓(𝑥) = {
3𝑥, −𝜋 < 𝑥 ≤ 0;
1 − 𝑥, 0 < 𝑥 < 𝜋.
Из 
(2 − 4)
получим
𝑎
0
=
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
1
𝜋
(3 ∫ 𝑥𝑑𝑥 +
0
−𝜋
∫ (1 − 𝑥)𝑑𝑥
𝜋
0
) =
𝜋
−𝜋
1
𝜋
(−
3
𝜋
𝜋
2
+ 𝜋 +
1
𝜋
𝜋
2
) = 1 − 𝜋.
𝑎
𝑛
=
1
𝜋
(3 ∫ 𝑥𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥𝑑𝑥 +
0
−𝜋
∫ (1 − 𝑥) cos 𝑛𝑥𝑑𝑥
𝜋
0
) =
=
1
𝜋
(
3
𝑛
2
−
3 cos 𝜋𝑛
𝑛
−
3 𝜋 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛
𝑛
+
1
𝑛
2
−
cos 𝜋𝑛
𝑛
+
𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛
𝑛
− 
π 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛
𝑛
) =
4
𝜋𝑛
2
−
4 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑛
𝜋𝑛
2
=
4(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑛)
𝜋𝑛
2
= {
0, 𝑛 = 2𝑘,
8
𝜋𝑛
2
, 𝑛 = 2𝑘 − 1, 𝑘 ∈ 𝑁.
𝑏
𝑛
=
1
𝜋
(3 ∫ 𝑥𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥 +
0
−𝜋
∫ (1 − 𝑥) sin 𝑛𝑥𝑑𝑥
𝜋
0
) =
1
𝜋
(
3 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛
𝑛
2
−
3 𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑛
𝑛
+
1
𝑛
−
cos 𝜋𝑛
𝑛
−
𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛
𝑛
2
+
π cos 𝜋𝑛
𝑛
) =
1
𝜋
(
2𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛
𝑛
2
−
2 𝜋 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑛
𝑛
+
1
𝑛
−
𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑛
𝑛
) =
1 (2𝜋 − 1)𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑛
𝜋𝑛
=
{
(2𝜋 − 1)
𝜋𝑛
, 𝑛 = 2𝑘,
2
𝑛
, 𝑛 = 2𝑘 − 1, 𝑘 ∈ 𝑁.
Составляем формулы коэффициентов Фурье и записываем разложение 
функции в тригонометрический ряд
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
43

---

𝑓(𝑥) =
1 − 𝜋
2
+ ∑ (
4(1 − (−1)
𝑘
)
𝜋𝑛
2
cos 𝑛𝑥 +
1
𝑛
∙
1 + (−1)
𝑛
− 2𝜋
𝜋(−1)
𝑛
) sin 𝑛𝑥 .
∞
𝑛=1
Пример 5. Найти разложение функции в тригонометрический ряд Фурье: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 − 2, −𝜋 < 𝑥 ≤ 0;
2, 0 < 𝑥 < 𝜋.
Решение: находим коэффициенты тригонометрического ряда Фурье
𝑎
0
=
1
𝜋
∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 =
1
𝜋
(∫ (𝑥 − 2)𝑑𝑥 +
0
−𝜋
2 ∫ 𝑑𝑥
𝜋
0
) =
𝜋
−𝜋
1
𝜋
(−
1
2
𝜋
2
− 2𝜋 + 𝜋) = −
𝜋
2
;
𝑎
𝑛
=
1
𝜋
(∫ (𝑥 − 2)𝑐𝑜𝑠 𝑛𝑥𝑑𝑥 +
0
−𝜋
2 ∫ cos 𝑛𝑥𝑑𝑥
𝜋
0
) =
1
𝜋
(
𝜋 𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛
𝑛
−
cos 𝜋𝑛
𝑛
2
+
1
𝑘
2
) = {
0, 𝑛 = 2𝑘, ;
2
𝜋𝑛
2
, 𝑛 = 2𝑘 − 1, 𝑛 ∈ 𝑁.
𝑏
𝑘
=
1
𝜋
(∫ (𝑥 − 2)𝑠𝑖𝑛𝑛𝑥𝑑𝑥 +
0
−𝜋
2 ∫ 𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥𝑑𝑥
𝜋
0
) =
1
𝜋
(
4
𝑛
−
4 𝑐𝑜𝑠 𝜋𝑛
𝑛
−
π cos 𝜋𝑛
𝑛
+
𝑠𝑖𝑛 𝜋𝑛
𝑛
2
) =
{
−
1
𝑛
, 𝑛 = 2𝑘,
𝜋 + 8
𝜋𝑛
, 𝑛 = 2𝑘 − 1, 𝑛 ∈ 𝑁.
Подставляя полученные коэффициенты в ряд Фурье, получим следующее 
разложение функции
𝑓(𝑥) =
𝜋
2
+ ∑ (
1 − (−1)
𝑛
𝜋𝑛
2
cos 𝑛𝑥 −
1
𝑛
∙
π + 4 − 4(−1)
𝑛
𝜋(−1)
𝑛
𝑠𝑖𝑛 𝑛𝑥) .
∞
𝑛=1
Заметим, что практический опыт показывает, что во время уроков рассказ 
краткой информации об истоки изучаемой темы и о научных трудах по 
практическому применению математики [1-14], приводит к повышению 
интереса студентов к науке и расширению мировоззрений. 
В настоящее время, для повышения эффективности преподавании 
математики, преподавателями применяются разные интерактивные методы [15-
27], которые требуют от учащихся большой работы над собой. В результате 
чего, были замечены положительные сдвиги в освоении математики. Так, 
некоторые студенты совместно с руководителями опубликовали научные 
статьи [28-30]. 
"Science and Education" Scientific Journal / ISSN 2181-0842
December 2021 / Volume 2 Issue 12
www.openscience.uz
44

---