\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article} %\usepackage[hyper]{amsbib}
Download 127,24 Kb.
|
Документ
|
\documentclass[a4paper,12pt,twoside]{article} %\usepackage[hyper]{amsbib} \usepackage{FEMJ_2015_2} \usepackage{amsbib} \newtheorem{defi}{\indent Определение} %\newtheorem{thm}{\indent Теорема} %\newtheorem{lem}{\indent Лемма} \newtheorem{cor}{\indent Следствие} \newtheorem{sta}{\indent Утвержнение} %\renewcommand{\thedefi}{\arabic{part}\arabic{defi}} %\renewcommand{\thethm}{\arabic{thm}} %\renewcommand{\thecor}{\arabic{cor}} %\renewcommand{\thelem}{\arabic{lem}} %\renewcommand{\thesta}{\arabic{part}\arabic{sta}} %\renewcommand{\theequation}{\arabic{equation}} %\renewcommand{\baselinestretch}{1,5} \begin{document}
\UDC{517.968} \Title{Обратная задачи для систем несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в состоянии покоя}
\Author{Д.\,К.~Дурдиев} {Бухарский филиал Института Математики Академии наук Республики Узбекистан, Бухара, Узбекистан, ул. М. Икбола, 11, Бухара, 200117, Узбекистан}{durdiev65@mail.ru} \Author{Т.\,Р.~Суяров}{Бухарский государственный университет, преподаватель кафедры "Дифференциальные уравнения", ул. М. Икбола, 11, Бухара, 200117, Узбекистан}{tsuyarov996@gmail.com} \markboth {Обратная задачи для систем несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости в состоянии}{Д.\,К.~Дурдиев, Т.\,Р.~Суяров} %%%%%%%%%%%% Левый и правый Колонтитулы \Summary{Durdiev D.\,K., Suyarov T.\,R.}{Inverse problems for systems of incompressible viscoelastic polymer liquid at rest} % {ФИО на английском} {аннотация на английском}
\keywords{hyperbolic system, the system of equations of an incompressible viscoelastic polymer liquid, integral equation, contraction mapping principle.}} % {ключевые слова на английском}} \makeface \Abstract{Для приведенной канонической системы интегро-дифференциальных уравнений для несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости ставятся прямая и обратная задача, состоящая в определении скорость возмущенной и давление среды и обратная задача нахождения диагональной матрицы ядеры. Задачи сводятся к замкнутой системе интегральных уравнений второго рода вольтерровского типа относительно Фурье образа по переменным $x$ решения прямой задачи и неизвестных обратной задачи. К этой системе применяется метод сжимающих отображений в пространстве непрерывных функций с экспоненциональной весовой нормой. Доказаны теоремы существования и единственности решений задач в глобальном смысле. Ключевые слова: \tit{гиперболическая система, система уравнений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкость, интегральное уравнение, принцип сжатых отображений.}} \section{Введение} Гиперболические системы уравнений первого порядка описывают множество физических процессов, связанных с движением полимерной жидкости в плоском канале Для примера можно указать системы уравнений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости. \par В качестве модели гидродинамики полимерной жидкости используется реологическая модель Покровского–Виноградова [1, 2].Полимерные жидкости представляют из себя текучие среды, состоящие из длинных перепутанных друг с другом макромолекул. При течениях с ненулевыми градиентами скоростей, такие молекулы сложным образом взаимодействуют, упираясь друг в друга, зацепляясь и высвобождаясь со временем. Эта особенность молекулярной структуры жидкости приводит к ряду особенностей, как эффект памяти деформаций, псевдопластичность (изменение вязкости жидкости в зависимости от скорости сдвига) и пространственная анизотропия. Математическое описание такого сложного поведения среды является трудной задачей, в процессе решения которой приходится делать большое количество допущений и предположений, зачастую не очевидных и спорных, не всегда хорошо аргументированных с физической точки зрения. По всей видимости, рассчитывать на появление некой универсальной модели динамики полимерных материалов не стоит, поскольку едва ли возможно в рамках одной модели учесть все разнообразные особенности поведения этих сред. Результатом этого является большое количество различных реологических моделей для динамики жидких полимеров, отличающихся подходами и, как следствие, полученными соотношениями и свойствами. Помимо этого, даже геометрически простые течения в рамках таких моделей обладают необычными особенностями, зачастую уникальными для отдельных моделей и требующими тщательного анализа. Сами же по себе эти модели достаточно сложны математически и свойства решений задач для них зачастую плохо изучены.Так или иначе, в основе любой реологической модели жидких полимеров лежит определяющее соотношение, связывающее тензор напряжений среды с тензором градиентов скоростей. Форма этого соотношения зависит от сделанных для его получения обобщающих предположений и разнится от модели к модели. В целом, можно выделить два основных подхода, или, если угодно, две основных идеи, позволяющие это соотношение получить.Первый подход сосредоточен на анализе экспериментальных измерениях свойств жидкости, полученных при изучении вискозиметрических течений реальных полимеров. Используя экспериментальные данные, в рамках такого подхода можно сделать ряд общих предположений, касающихся законов сохранения, и получить определяющие соотношения, подбирая значения одного или нескольких введенных параметров, добиваясь соответствия решений уравнений с эмпирическими данными. Второй подход делает упор на моделирование динамики самих макромолекул среды и их взаимодействия друг с другом. Поскольку само по себе движение молекул случайно, для моделирования их динамики приходится привлекать стохастические уравнения, тем или инм образом учитывающие броуновскую составляющую динамики микроскопических частиц. Соответственно, для получения макроскопических соотношений используется усреднение характеристик жидкости по статистическому ансамблю. Модели, в основном придерживающиеся первого подхода, называют феноменологическими [3, 4], а второго – статистическими [6, 5]. Модели, тем или иным образом комбинирующие эти подходы, обычно называют мезоскопическими. К последним относится и модель Покровского–Виноградова, используемая в данной работе. Одним из классических течений жидкости является стационарное течение в прямом цилиндрическом или плоском канале. Его реализация для вязкой жидкости в стационарном случае – это известное течение Пуазейля, являющееся одним из примеров точных аналитических решений уравнений Навье–Стокса. Естественным желанием является анализ сходного по геометрии течения вязкоупругой жидкости. Помимо своей сравнительной простоты, такой тип течения можно считать одним из самых интересных с практической точки зрения, поскольку изучение течения расплавов полимеров по трубам важно для производства полимерных материалов, аддитивных технологий и смежных промышленных отраслей. Подобные течения в числе прочих моделей изучались и для модели Покровского–Виноградова, но, в отличие от течения Пуазейля для уравнений Навье–Стокса, случаев,позволяющих найти аналитические решения, рассмотрено до сих пор не было. \par Анализ динамических уравнений, описывающих такие процессы, показывают, что в правую часть в системы гиперболических уравнений добавляются вольтерроды операторы типа свертки некоторой функции, зависящий от времени и эллиптической части соответствующих гиперболических операторов, стоящих в левой части. \par Следуя [1], сформулируем обобщенную реологическую модель Виноградова – Покровского, которая описывает течения несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости (например, в плоском канале). В безразмерной форме (процесс обезразмеривания подробно описан в [2]) эта математическая модель имеет следующий в \begin{equation} \left.\begin{array}{l} u_{x}+v_{y}=0 \\ \frac{d \mathbf{u}}{d t}+\nabla p=\frac{1}{\operatorname{Re}} \operatorname{div} \Pi \\ \frac{d a_{11}}{d t}-2 A_{1} u_{x}-2 a_{12} u_{y}+K_{I} a_{11}+\beta\left\|\boldsymbol{\sigma}_{1}\right\|^{2}=0 \\ \frac{d a_{12}}{d t}-A_{1} v_{x}-A_{2} u_{y}+K_{I} a_{12}+\beta\left(\boldsymbol\sigma_{1}, \boldsymbol{\sigma}_{2}\right)=0 \\ \frac{d a_{22}}{d t}-2 a_{12} v_{x}-2 A_{2} v_{y}+K_{I} a_{22}+\beta\left\|\boldsymbol\sigma_{2}\right\|^{2}=0 \end{array}\right\} \end{equation} Здесь: $t$ - время; $u, v-$ компоненты вектора скорости $\mathbf{u}$ в декартовой системе координат $x, y ; p-$ давление; $a_{i j}, i, j=1,2$ - компоненты симметрического тензора анизотропии П второго ранга; $\boldsymbol{\sigma}_{1}, \boldsymbol{\sigma}_{2}-$ столбцы симметрической матрицы $\Pi=\left(a_{i j}\right)=\left(\boldsymbol{\sigma}_{1}, \boldsymbol{\sigma}_{2}\right)$; \begin{equation*} \begin{aligned} &\left\|\boldsymbol{\sigma}_{i}\right\|^{2}=\left(\boldsymbol{\sigma}_{i}, \boldsymbol{\sigma}_{i}\right), i=1,2 \\ &\operatorname{div} \Pi=\left(\operatorname{div} \boldsymbol{\sigma}_{1}, \operatorname{div} \boldsymbol{\sigma}_{2}\right)^{T} \\ &K_{I}=W^{-1}+\frac{\bar{k}}{3} I, I=a_{11}+a_{22}, \bar{k}=k-\beta \end{aligned} \end{equation*} постоянные $k, и \beta(0<\beta<1)-$ феноменологические параметры не зависят от молекулярного веса полимера и его концентрации, характеризующие соответственно размеры и ориентацию молекулярных клубков полимера, связанные $c$ анизотропией; $\operatorname{Re}=\rho u_{H} l / \eta_{0}-$ число Рейнольдса; $\rho(=$ const) - плотность среды; $W=\tau_{0} u_{H} / l-$ число Вейсенберга; $\eta_{0}, \tau_{0}$ - начальные значения сдвиговой вязкости и времени релаксации; $l$ - характерная длина (см. рисунок); $u_{H}$ - характерная скорость; \begin{equation*} \begin{aligned} &A_{i}=W^{-1}+a_{i i}, \quad i=1,2 \\ &\frac{d}{d t}=\frac{\partial}{\partial t}+(\mathbf{u}, \nabla) \end{aligned} \end{equation*} В системе $(1)$ время $t$, координаты $x, y$, компоненты вектора скорости $u, v$, давление $p$ отнесены к $l / u_{H}, l, u_{H}, \rho u_{H}^{2}$. Как мы уже отмечали, стационарные решения математической модели (1), подробно изучались в [2]. Там были построены стационарные решения, аналогичные решениям Пуазейля и Куэтта для системы уравнений Навье – Стокса. Вопросы, связанные с линейной устойчивостью таких решений, были рассмотрены в [3; 4]. В настоящей работе в качестве исходного стационарного течения мы возьмем состояние покоя (механическое равновесие): \begin{equation}u = v = a_{11} = a_{12} = a_{22} = 0, p=const. \end{equation} \begin{figure}[h] \begin{center} \includegraphics[width=0.5\textwidth]{kanal} \caption{Плоский канал.} \end{center} \end{figure} \par В работе [2] была сконструирована линейная система, полученная при линеаризации уравнений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости (1). Линеаризация проводилась относительно стационарных решений, аналогичных решениям Пуазейля для системы уравнений Навье – Стокса. Если в качестве стационарного решения взять состояние покоя (2) в канале (см. рисунок), то линейная система будет иметь следующий вид: \begin{equation} \begin{gathered} \mathbf{U}_{t}+A_{1} \mathbf{U}_{y}+A_{2} \mathbf{U}_{x}+A_{3} \mathbf{U}+\mathbf{F_{0}}=0 \end{gathered} \end{equation} \begin{equation*} \begin{gathered} t>0, x \in \mathbb{R}^{1}, \quad 0 \end{equation*} $\mathbf{U}=\left(\begin{array}{c}u \\ v \\ \alpha_{12} \\ \alpha_{22}\end{array}\right)$, $A_{1}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ -\kappa_{0}^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 \kappa_{0}^{2} & 0 & 0 \end{array}\right)$, $A_{2}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & -\kappa_{0}^{2} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right)$ , \begin{equation} A_{3}=W^{-1}\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right), \quad \mathbf{F_{0}}=\left(\begin{array}{c} \Omega_{x} \\ \Omega y \\ 0 \\ 0 \end{array}\right); \end{equation} $u, v$ - малые возмущения компонент вектора скорости; $a_{11}\left(=-a_{22}\right), a_{12}, a_{22}$ - малые возмущения компонент симметрического тензора анизотропии; $\alpha_{i j}=a_{i j} / \operatorname{Re}, i, j=1,2 ;$ $\Omega=p-\alpha_{22}, p-$ малое возмущение давления; $\kappa_{0}^{2}=\frac{1}{W \operatorname{Re}},$ \par Теперь применения преобразования Фурье по переменной $x$ и запишем гиперболической системы \begin{equation} \tilde{U}_{t}+A_{1} \tilde{U}_{y}+B_{1} \tilde{U}=\int_{0}^{t} \Psi(t-\tau) \tilde{U}(y, \tau) d \tau-\tilde{F}_{0}(y, t) , \quad 0 \begin{equation}A_{1}=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ -\kappa_{0}^{2} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -2 \kappa_{0}^{2} & 0 & 0 \end{array}\right)\end{equation}, \begin{equation*} {B}_{1}=\left(i \xi {A}_{2}+{A}_{3}\right)=\left(\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 0 & i \xi \\ 0 & 0 & -i \xi & 0 \\ 0 & -i \xi \kappa_{0}^{2} & \frac{1}{W} & \frac{1}{W} \\ 0 & 0 & \frac{1}{W} & \frac{1}{W} \end{array}\right), \tilde{F_{0}}=\left(\begin{array}{c} i \xi \tilde{p} \\ \tilde{p}_{y} \\ 0 \\ 0 \end{array}\right) \end{equation*} Систему (5) приведем к каноническому виду.В расматриваемом случае существует такая невырожденная матрица $T$, что $T^{-1}A_{1}T=\Lambda$, где $\Lambda-$ диагональная матрица, на диагонали которой стоят собственные числа матрицы ${A_{1}}$. \begin{equation} T=\left(\begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ -\kappa_{0} & \kappa_{0} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -\sqrt{2} \kappa_{0} & \sqrt{2} \kappa_{0} \end{array}\right) \end{equation} Обратная матрица к Т определяется следуюший формулой \begin{equation} T^{-1}=\left(\begin{array}{cccc} \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2 \kappa_{0}} & 0 \\ \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2 \kappa_{0}} & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & -\frac{1}{2 \sqrt{2} \kappa_{0}} \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 & \frac{1}{2 \sqrt{2} \kappa_{0}} \end{array}\right) \end{equation} Теперь сделаем замену в уравнении (5) новую функцию с помощью равенства \begin{equation} \tilde U=TV \end{equation} и умножим это уравнение слева на матрицу $T^{-1}$.Тогда для функции $V$ получим уравнение \begin{equation} \begin{aligned} &\left(I_{4} \frac{\partial}{\partial t}+\Lambda \frac{\partial}{\partial y}+C\right) V=\int_{0}^{t} {R}(t-\tau) V(y, \tau) d \tau+F \end{aligned} \end{equation} Где $I_{4}$ - означает единичную матрица порядка $4, \Lambda=\operatorname{diag}\left(\kappa_{0},-\kappa_{0}, \sqrt{2} \kappa_{0},-\sqrt{2} \kappa_{0}\right), \\C=T^{-1}B_{1} T$, ${R}(t)=T^{-1} \Psi(t) T, F=-T^{-1} \tilde{F}_{0}(y, t)$. \section{ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ} Введем новую переменную $z$ с помощью формулы \begin{equation} z=\vartheta(y)=\frac{1}{\kappa_{0}} y \end{equation} Пусть $y=\vartheta^{-1}(z)$ обратная функция к $z=\vartheta(y)$. Будем в дальнейшем считать, что во всех функциях, проведена замена переменной $y$ на переменную $z$, и сохраним за функциями прежние обозначения, например $V\left(\vartheta^{-1}(z), t\right)=$ $V(z, t)$. Уравнения (10) при этом примет вид \begin{equation} \left(I_{4} \frac{\partial}{\partial t}+\gamma \frac{\partial}{\partial z}+C\right) V=\int_{0}^{t} R(\tau) V(z, t-\tau) d \tau+F(z, t) \end{equation} здесь \begin{equation*} \gamma=\operatorname{diag}(1,-1, \sqrt{2},-\sqrt{2}) \end{equation*} В прямой задаче при заданных матриц $R,C$ и вектор-функции $F$ требуется определить в области $\Pi=\{(z,t): 0 \begin{equation} \begin{aligned} &\left.V_{i}(z, t)\right|_{t=0}=\varphi_{i}(z), i=\overline{1,4} \end{aligned} \end{equation} \begin{equation} \begin{aligned} &\left.V_{i}(z, t)\right|_{z=0}=g_{i}(t), i=1,3 \\ &\left.V_{i}(z, t)\right|_{z=1}=g_{i}(t), i=2,4 \end{aligned} \end{equation} где $\varphi(z)=\left(\varphi_{1}, \varphi_{2}, \varphi_{3}, \varphi_{4}\right)(z), g(t)=\left(g_{1}, g_{2}, g_{3}, g_{4}\right)(t) $ заданные функции. В обратной задаче предполагается неизвестной матричная функция $R(t), t>0$ требуется найти её, если относительно решения задачи $(12)-(14)$ известны дополнительные условия, задаваемые на боковых границах области $\Pi$ \begin{equation} \begin{aligned} &\left.V_{i}(t)\right|_{z=1}=h_{i}(t), i=1,3 \\ &\left.V_{i}(t)\right|_{z=0}=h_{i}(t), i=2,4 \end{aligned} \end{equation} При этом $R(0)$ считаются заданными. \par К настоящему времени достаточно широко изучены задачи определения ядер из одного интегро-дифференциального уравнения второго порядка [4]-[23]. Численное решение прямых и обратных задач для таких уравнений исследовались в работах [24]-[38]. Как правило, уравнения второго порядка выводятся из систем уравнений в частных производных первого порядка при некоторых дополнительных предположениях. \par Обратная задача определения ядер интегральных членов из системы интегро-дифференциальных уравнений первого порядка общего вида с двумя независимыми переменными изучена в работе [39]. Получена теорема локального существования и глобальной единственности. \par Представляется совершенно естественным изучение обратных задач об определении ядер интегральных членов системы интегро-дифференциальных уравнений проводить непосредственно в терминах самой системы. Настоящая статья является естественным продолжением этого круга задач и в известной мере обобщает результаты [39] на случай системы уравнений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкостью (1). \section{ Исследование прямой задачи} Пусть $\Pi=\{(z, t): 0 Определим сначала в (17) $t_{0}^{i}$ Она зависит от координат точки $(z, t)$.Не трудно заметить, что $t_{0}^{i}(z, t)$ имеет вид \begin{equation} t_{0}^{i}(z, t)=\left\{\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} t-\frac{z}{\gamma_{i}}, t \geq \frac{z}{\gamma_{i}}, \\ 0, \quad 0 \left\{\begin{array}{l} t+\frac{1-z}{\gamma_{i}}, t \geq \frac{1-z}{\gamma_{i}}, \\ 0,0 \end{array}\right. \end{equation} Тогда, из условия того, что пара $\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)$ удовлетворяет уравнению (17) следует \begin{equation*} z_{0}^{i}(z, t)=\left\{\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{l} 0,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, t \geq \frac{z}{\gamma_{i}}, \\ z-\gamma_{i} t, \quad 0 \left\{\begin{array}{l} 1,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, t \geq \frac{1-z}{\gamma_{i}}, \\ z-\gamma_{i} t,0 \end{array}\right. \end{equation*} Свободные члены интегральных уравнений (17) определяются через начальные и граничные условия (13) и (14) следующим образом: \begin{equation} \mathrm{V}_{i}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)=\left\{\begin{array}{l} \left\{\begin{array}{ll} \mathrm{g}_{i}\left(t-\frac{z}{\gamma_{i}}\right), & t \geq \frac{z}{\gamma_{i}}, \\ \varphi_{i}\left(z-\gamma_{i} t\right), & 0 \leq t<\frac{z}{\gamma_{i}}, \end{array} \quad i=1,3;\right. \\ \left\{\begin{array}{l} \mathrm{g}_{i}\left(t+\frac{1-z}{\gamma_{i}}\right), \quad t \geq \frac{1-z}{\gamma_{i}}, \\ \varphi_{i}\left(z-\gamma_{i} t\right), \quad 0 \leq t<\frac{1-z}{\gamma_{i}}, \end{array} \quad i=2,4.\right. \end{array}\right. \end{equation} Требуем, чтобы функции $V_{i}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)$ были непрерывными в области П. Заметим, что для выполнения этих условий заданные функции $\varphi_{i}$ и $g_{i}$ должны удовлетворять условиям согласования в угловых точках области П: \begin{equation} \varphi_{i}(0)=\mathrm{g}_{i}(0), \quad i=1,3 ; \quad \varphi_{i}(1)=\mathrm{g}_{i}(0), \quad i=2,4. \end{equation} Здесь значения функций $g_{i}$ при $t=0$ и функций $\varphi_{i}$ при $z=0,1$ понимаются как предел в этих точках при стремлении аргумента с той стороны точки, где эти функции определены. \par Предположим, что все заданные функции, входящие в (17) являются непрерывными функциями своих аргументов в П. Тогда эти система уравнений являются замкнутой системой интегральных уравнений вольтеровского типа второго рода с непрерывными ядрами и свободными членами. Как обычно, такая система имеет единственное решение в ограниченной подобласти $\Pi_{T}=\{(z, t): 0 \leq z \leq 1,0 \leq t \leq T\}, T>0$ - некоторое фиксированные число, области П. \par Введем в рассмотрение вектор-функцию $w(z, t)=\frac{\partial}{\partial t} \mathrm{~V}(z, t)$. Чтобы получить задачу для функции $w(z, t)$ подобной (12)-(14) дифференцируем уравнения (12) п граничные условия (14) по переменной $t$, а условне при $t=0$ найдем с помощью уравненнй (12) и начальных условий (13). При этом получим \begin{equation} \begin{gathered} \frac{\partial w_{i}}{\partial t}+\gamma_{i} \frac{\partial w_{i}}{\partial z}=-\sum_{j=1}^{4} \mathrm{c}_{i j} w_{j}(z, t)+\sum_{j=1}^{4} R_{i j}(t) \varphi_{j}(z)+ \\ +\int_{0}^{t} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(t) w_{j}(z, t-\tau) d \tau+\frac{\partial}{\partial t} F_{i}(z, t), i=\overline{1,4} \end{gathered} \end{equation} \begin{equation} \begin{gathered} \left.w_{i}(z, t)\right|_{t=0}=\Phi_{i}(z), i=\overline{1,4} \end{gathered} \end{equation} \begin{equation} \begin{gathered} \left.w_{i}(z, t)\right|_{z=0}=\frac{d}{d t} g_{i}(t), i=1,3 \\ \left.w_{i}(z, t)\right|_{z=1}=\frac{d}{d t} g_{i}(t), i=2,4, \end{gathered} \end{equation} где \begin{equation} \Phi_{i}(z)=F_{i}(z, 0)-\gamma_{i} \frac{\partial}{\partial z} \varphi_{i}(z)-\sum_{j=1} c_{i j} \varphi_{i}(z), i=\overline{1,4} \end{equation} Снова интегрирование вдоль соответствующих характеристик приведет задачу (21)-(23) к интегральным уравнениям \begin{equation} \begin{aligned} &w_{i}(z, t)=w_{i}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)+\left.\int_{t_{0}^{i}}^{t} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\tau) \varphi_{j}(\mu)\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau+ \\ &+\int_{t_{0}^{i}}^{t}\left[\frac{\partial}{\partial t} F_{i}(\mu, \tau)-\sum_{j=1}^{4} c_{i j} w_{j}(\mu, \tau)\right]_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau+ \\ &+\left.\int_{t_{0}^{i}}^{t} \int_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\eta) w_{j}(\mu, \tau-\eta) d \eta\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau .&i=\overline{1,4} \end{aligned} \end{equation} Для функций $w_{i}$ дополнительные условия (15) условия выглядят как \begin{equation} w_{i}(0, t)=\frac{d}{d t} \mathrm{~h}_{i}(t), i=2,4 ; \quad w_{i}(1, t)=\frac{d}{d t} \mathrm{~h}_{i}(t), i=1,3. \end{equation} В уравнениях (25) $w_{i}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)$ определяются следующим образом: \begin{equation*} \begin{aligned} &w_{i}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)= \begin{cases}\frac{d}{d t} g_{i}\left(t-\frac{z}{\gamma_{i}}\right), t \geq \frac{z}{\gamma_{i}} \\ \Phi_{i}\left(z-\gamma_{i} t\right), \quad 0 \leq t<\frac{z}{\gamma_{i}}, \quad i=1,3\end{cases} \\ &w_{i}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)= \begin{cases}\frac{d}{d t} g_{i}\left(t+\frac{1-z}{\gamma_{i}}\right), \quad t \geq \frac{1-z}{\gamma_{i}} \\ \Phi_{i}\left(z-\gamma_{i} t\right), \quad 0 \leq t<\frac{1-z}{\gamma_{i}}, & i=2,4\end{cases} \end{aligned} \end{equation*} Пусть выполнены условия \begin{equation} \begin{gathered} F_{i}(0,0)-\gamma_{i}\left[\frac{\partial}{\partial z} \varphi_{i}(z)\right]_{z=0}-\sum_{j=1}^{4} c_{i j} \varphi_{j}(0)=\left[\frac{d}{d t} g_{i}(t)\right]_{t=0}, i =1,3 \end{gathered} \end{equation} \begin{equation} F_{i}(1,0)-\gamma_{i}\left[\frac{\partial}{\partial z} \varphi_{i}(z)\right]_{z=1}-\sum_{j=1}^{4} c_{i j} \varphi_{j}(1)=\left[\frac{d}{d t} g_{i}(t)\right]_{t=0}, i=2,4 \end{equation} Не трудно заметить, что условия согласования начальных (22) и граничных (23) данных в угловых точках области П совпадают с соотношениями (27) и (28). Отсюда ясно, что при выполнении тех же равенств (27) и (28) уравнения (21) будут иметь единственные непрерывные решения $w_{i}(z, t)$, или те же самые $(\partial / \partial t) \mathrm{V}_{i}(z, t)$ Итак, мы доказали следующее утверждение: \par {\bf Теорема 1.} Пусть $\varphi(\mathrm{z}) \in C^{1}[0,1], \mathrm{g}(t) \in C^{1}[0,1], \Psi(\mathrm{t}) \in C^{1}[0, T], F(z, t) \in$ $C^{1}\left(\Pi_{T}\right)$ и выполнены условия $(20),(27)$ и $(28)$. Тогда в области П существует единственное классическое решение задачи (21)-(23). \begin{center} {\bf ИССЛЕДОВАНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ. ВЫВОД ЭКВИВАЛЕНТНОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ} \end{center} Рассмотрим произвольную точку $(z, 0) \in \Pi$ и проведем через нее характеристику (16) до пересечения с боковыми границами области П. Интегрируя $i-$ ю компоненту уравнения (21), используя данные (24), находим \begin{equation} \begin{gathered} w_{i}(z, 0)=\frac{d}{d t} h_{i}\left(t_{i}(z)\right)-\left.\int\limits_{0}^{t_{i}(z)}\left[\sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\tau) \varphi_{j}(\mu)-\sum_{j=1}^{4} c_{i j} w_{j}(\mu, \tau)\right]\right|_{\mu=z+\gamma_{i} \tau} d \tau- \\ -\left.\int\limits_{0}^{t_{i}(z)} \frac{\partial}{\partial t} F_{i}(\mu, \tau)\right|_{\mu=z+\gamma_{i} \tau} d \tau-\left.\int\limits_{0}^{t_{i}(z)} \int\limits_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\alpha) w_{j}(\mu, \tau-\alpha) \mathrm{d} \alpha\right|_{\mu=z+\gamma_{i} \tau} d \tau \end{gathered} \end{equation} где \begin{equation*} \quad t_{i}(z)=\frac{1}{\gamma_{i}}\left\{\begin{array}{l}-z, \quad i=1,3, \\ 1-z, \quad i=2,4\end{array}\right. \end{equation*} С учётом начальных условий (23) перепишем уравнения (29) в виде \begin{equation} \begin{aligned} &\int\limits_{0}^{t_{i}(z)} \sum_{j=1}^{4} c_{i j} \mathrm{w}_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau\right) d \tau-\int\limits_{0}^{t_{i}(z)} \int\limits_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\alpha) w_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau-\alpha\right) d \alpha d \tau= \\ &= \Phi_{i}(z)-\frac{d}{d t} h_{i}\left(t_{i}(z)\right)+\int\limits_{0}^{t_{i}(z)}\left[\sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\tau) \varphi_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau\right)+\frac{\partial}{\partial t} F_{i}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau\right)\right] d \tau, i=\overline{1,4}, \end{aligned} \end{equation} Продифференцируем уравнения по переменный $z$. Тогда имеем \begin{equation} \begin{gathered} -\sum_{j=1}^{4} c_{i j} \mathrm{w}_{j}\left(z+\gamma_{i} t_{i}(z), t_{i}(z)\right)+\gamma_{i} \int\limits_{0}^{t_{i}(z)} \sum_{j=1}^{4} c_{i j} \frac{\partial}{\partial z} \mathrm{w}_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau\right) d \tau+ \\ +\int\limits_{0}^{t_{i}(z)} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\tau) w_{j}\left(z+\gamma_{i} t_{i}(z), t_{i}(z)-\tau\right) d \tau- \\ -\gamma_{i} \int\limits_{0}^{t_{i}(z)} \int\limits_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\alpha) \frac{\partial}{\partial z} w_{i}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau-\alpha\right) d \alpha d \tau=\gamma_{i} \frac{d}{d z} \Phi_{i}(z)+\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \mathrm{~h}_{i}\left(t_{i}(z)\right)- \\ \quad-\left[\sum_{j=1}^{4} R_{i j}\left(t_{i}(z)\right) \varphi_{j}\left(z+\gamma_{i} t_{i}(z)\right)+\frac{\partial}{\partial t} F_{i}\left(z+\gamma_{i} t_{i}(z), t_{i}(z)\right)\right] \end{gathered} \end{equation} \begin{equation*} \begin{gathered}+\gamma_{i} \int\limits_{0}^{t_{i}(z)}\left[\sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\tau) \frac{\partial}{\partial z} \varphi_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau\right)+\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial z} F_{i}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau\right)\right] d \tau, i=\overline{1,4} \end{gathered} \end{equation*} Далее в уравнениях (31) заменим $t_{j}(z)$ на $t$, и получим следующие равенства \begin{equation} \begin{gathered} -\sum_{j=1}^{4} c_{i j} \mathrm{w}_{j}(0, \mathrm{t})+\lambda_{i} \int\limits_{0}^{\mathrm{t}} \sum_{j=1}^{4} c_{i j} \frac{\partial}{\partial z} \mathrm{w}_{j}\left(z+\lambda_{i} \tau, \tau\right) d \tau+ \\ +\sum_{j=1}^{4} R_{i j}(t) \varphi_{j}(0)+\int\limits_{0}^{\mathrm{t}} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\tau) w_{j}(0, \mathrm{t}-\tau) d \tau- \\ -\gamma_{i} \int\limits_{0}^{\mathrm{t}} \int\limits_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\alpha) \frac{\partial}{\partial z} w_{i}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau-\alpha\right) d \alpha d \tau=\gamma_{i} \frac{d}{d z} \Phi_{i}(z)+ \\ +\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \mathrm{~h}_{i}(\mathrm{t})-\frac{\partial}{\partial t} F_{i}(0, t)+ \\ +\gamma_{i} \int\limits_{0}^{\mathrm{t}}\left[\sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\tau) \frac{\partial}{\partial z} \varphi_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau\right)+\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial z} F_{i}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau\right)\right] d \tau, i={1,3} ; \end{gathered} \end{equation} \begin{equation} \begin{gathered} -\sum_{j=1}^{4} c_{i j} \mathrm{w}_{j}(1, \mathrm{t})+\gamma_{i} \int\limits_{0}^{\mathrm{t}} \sum_{j=1}^{4} c_{i j} \frac{\partial}{\partial z} \mathrm{w}_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau\right) d \tau+ \\ +\sum_{j=1}^{4} R_{i j}(t) \varphi_{j}(1)+\int\limits_{0}^{\mathrm{t}} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\tau) w_{j}(1, \mathrm{t}-\tau) d \tau- \\ -\gamma_{i} \int\limits_{0}^{\mathrm{t}} \int\limits_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\alpha) \frac{\partial}{\partial z} w_{i}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau-\alpha\right) d \alpha d \tau=\gamma_{i} \frac{d}{d z} \Phi_{i}(z)+ \\ +\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \mathrm{~h}_{i}(\mathrm{t})-\frac{\partial}{\partial t} F_{i}(1, t)+ \\ +\gamma_{i} \int\limits_{0}^{\mathrm{t}}\left[\sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\tau) \frac{\partial}{\partial z} \varphi_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau\right)+\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial z} F_{i}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau\right)\right] d \tau, i={2,4} ; \end{gathered} \end{equation} Запишем равенства (32)-(33) в следующем компактном виде \begin{equation} \begin{gathered} -\sum_{j=1}^{4} c_{i j} \mathrm{w}_{j}(\theta_{i}, \mathrm{t})+\gamma_{i} \int\limits_{0}^{\mathrm{t}} \sum_{j=1}^{4} c_{i j} \frac{\partial}{\partial z} \mathrm{w}_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau\right) d \tau+ \\ +\sum_{j=1}^{4} R_{i j}(t) \varphi_{j}(\theta_{i})+\int\limits_{0}^{\mathrm{t}} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\tau) w_{j}(\theta_{i}, \mathrm{t}-\tau) d \tau-\\ -\gamma_{i} \int\limits_{0}^{\mathrm{t}} \int\limits_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\alpha) \frac{\partial}{\partial z} w_{i}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau-\alpha\right) d \alpha d \tau=\gamma_{i} \frac{d}{d z} \Phi_{i}(z)+ \end{gathered} \end{equation} \begin{equation*} \begin{gathered} +\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \mathrm{~h}_{i}(\mathrm{t})-\frac{\partial}{\partial t} F_{i}(\theta_{i}, t)+ \\ +\gamma_{i} \int\limits_{0}^{\mathrm{t}}\left[\sum_{j=1}^{4} R_{i j}(\tau) \frac{\partial}{\partial z} \varphi_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau\right)+\frac{\partial^{2}}{\partial t \partial z} F_{i}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau\right)\right] d \tau, i=\overline{1,4} ; \end{gathered} \end{equation*} Здесь \begin{equation*} \theta_{i}=\left\{\begin{array}{cc} 0, & i=1,3 \\ 1, & i=2,4 \end{array} \quad \gamma_{i}=\left\{\begin{array}{c} 1, \sqrt{2} , \quad i=1,3 \\ -1,-\sqrt{2} , \quad i=2,4 \end{array}\right.\right. \end{equation*} Введем следующее обозначени: \begin{equation*} \begin{aligned} &\Upsilon=\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right):=\left(\Upsilon_{i l}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right)\right)_{i, l=1}^{4}= \\ &=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc} \varphi_{1}\left(\theta_{1}\right)+\varphi_{2}\left(\theta_{1}\right) & 0 & \varphi_{1}\left(\theta_{1}\right)-\varphi_{2}\left(\theta_{1}\right) & 0 \\ \varphi_{1}\left(\theta_{2}\right)+\varphi_{2}\left(\theta_{2}\right) &0 &-\varphi_{1}\left(\theta_{2}\right)+\varphi_{2}\left(\theta_{2}\right) & 0 \\ 0 & \varphi_{3}\left(\theta_{3}\right)+\varphi_{4}\left(\theta_{3}\right) & 0 & \varphi_{3}\left(\theta_{3}\right)-\varphi_{4}\left(\theta_{3}\right) \\ 0 & \varphi_{3}\left(\theta_{4}\right)+\varphi_{4}\left(\theta_{4}\right) & 0 & -\varphi_{3}\left(\theta_{4}\right)+\varphi_{4}\left(\theta_{4}\right) \end{array}\right) \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation} \begin{aligned} &\Upsilon=(z ; \omega(z, t)):=\left(\Upsilon_{i l}(z ; \omega(z, t))\right)_{i, l=1}^{4}= \\ &=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cccc} \omega_{1}(z, t)+\omega_{2}(z, t) & 0 & \omega_{1}(z, t)-\omega_{2}(z, t) & 0 \\ \omega_{1}(z, t)+\omega_{2}(z, t) & 0 & -\omega_{1}(z, t)+\omega_{2}(z, t) & 0 \\ 0 & \omega_{3}(z, t)+\omega_{4}(z, t) & 0 & \omega_{3}(z, t)-\omega_{4}(z, t) \\ 0 & \omega_{3}(z, t)+\omega_{4}(z, t) & 0 & -\omega_{3}(z, t)+\omega_{4}(z, t) \end{array}\right) \end{aligned} \end{equation} Учитывая (35), запишем уравнения (25) в следующем виде: \begin{equation} \begin{aligned} &w_{i}(z, t)=w_{i}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)+\int\limits_{t_{0}^{i}}^{t}\left[\sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}(\mu ; \varphi(\mu)) \psi_{j}(\tau)-\sum_{j=1}^{4} c_{i j} w_{i}(\mu, \tau)\right]_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau+ \\ &+\left.\int\limits_{t_{0}^{i}}^{t} \int\limits_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(\mu ; w_{i}(\mu, \tau-\eta)\right) \psi_{j}(\eta) d \eta\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau+\left.\int\limits_{t_{0}^{i}}^{t} \frac{\partial}{\partial t} F_{i}(\mu, \tau)\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau \end{aligned} \end{equation} Также пользуясь (35) систему (34), перепишем в виде: \begin{equation} \begin{gathered} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right) \psi_{j}(t)=\gamma_{i} \int_{0}^{t} \frac{\partial}{\partial z} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(\tau ; \frac{\partial}{\partial z} \varphi_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau\right)\right) \psi_{j}(\tau) d \tau- \\ -\int_{0}^{t} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(\theta_{i} ; w_{j}\left(\theta_{i}, t-\tau\right)\right) \psi_{j}(\tau) d \tau+ \\ +\left.\gamma_{i} \int_{0}^{t} \int_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(z ; \frac{\partial}{\partial z} w_{j}(z, \tau-\alpha)\right) \psi_{j}(\alpha)\right|_{z=\theta_{i}+\gamma_{i}(\tau-t)} d \alpha d \tau -\\ -\gamma_{i} \int_{0}^{t} \sum_{j=1}^{4} c_{i j} \frac{\partial}{\partial z} \mathrm{w}_{j}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau\right) d \tau+\gamma_{i} \frac{d}{d z} \Phi_{i}(z)+\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} \mathrm{~h}_{i}(t)- \\ -\frac{\partial}{\partial t} F_{i}\left(\theta_{i}, t\right)+\sum_{j=1}^{4} c_{i j} \mathrm{w}_{j}\left(\theta_{i}, t\right)+\gamma_{i} \int_{0}^{t} \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial z} F_{i}\left(z+\gamma_{i} \tau, \tau\right) d \tau, i=\overline{1,4} ; \end{gathered} \end{equation} В дальнейшем будем предполагать, что выполнены условия \begin{equation*} \operatorname{det} \Upsilon\left(\theta_{j} ; \varphi\left(\theta_{j}\right)\right)=D_{0} \neq 0. \end{equation*} \begin{equation} \varphi_{1}(0) \varphi_{1}(1) \neq \varphi_{2}(0) \varphi_{2}(1) \quad \varphi_{3}(0) \varphi_{3}(1) \neq \varphi_{4}(0) \varphi_{4}(1) \end{equation} Решая теперь систему (37) относительно $\psi_{j}(t)$ и получим \begin{equation} \begin{aligned} &\psi_{j}(t)=\frac{1}{D_{0}} \sum_{k=1}^{4}\left[\gamma_{k} \int_{0}^{t} \sum_{l=1}^{4} \Upsilon_{k l}\left(\tau ; \frac{\partial}{\partial z} \varphi_{l}\left(z+\gamma_{k} \tau\right) \psi_{l}(\tau) d \tau\right] \mathrm{A}_{k j}\left(\theta_{j} ; \varphi\left(\theta_{j}\right)\right)-\right. \\ &-\frac{1}{D_{0}} \sum_{k=1}^{4}\left[\gamma_{k} \int_{0}^{t} \sum_{l=1}^{4} \Upsilon_{k j}\left(\theta_{k} ; \omega_{l}\left(\theta_{k}, t-\tau\right)\right) \psi_{l}(\tau) d \tau\right] \mathrm{A}_{k j}\left(\theta_{j} ; \varphi\left(\theta_{j}\right)\right)+ \\ &+\frac{1}{D_{0}} \sum_{k=1}^{4}\left[\left.\gamma_{k} \int\limits_{0}^{t} \int\limits_{0}^{\tau} \sum_{l=1}^{4} \Upsilon_{k l}\left(z ; \frac{\partial}{\partial z} \omega_{l}(z, \tau-\alpha)\right) \psi_{l}(\tau)\right|_{z=\theta_{j}-\gamma_{k}(t-\tau)} \quad d \alpha d \tau \mathrm{A}_{k j}-\right. \\ &-\frac{1}{D_{0}} \sum_{k=1}^{4}\left[\gamma_{k} \int\limits_{0}^{t} \sum_{l=1}^{4} c_{k l} \frac{\partial}{\partial z} \omega_{l}\left(z+\gamma_{k} t, \tau\right)\psi_{l} d \tau\right] \mathrm{A}_{k j}\left(\theta_{j} ; \varphi\left(\theta_{j}\right)\right)+ \\ &+\frac{1}{D_{0}} \sum_{k=1}^{4}\left[\gamma_{k} \frac{\partial}{\partial z} \Phi_{k}(z)+\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} h_{k}(t)-\frac{\partial}{\partial z} F_{k}\left(\theta_{k}, t\right)\right] \mathrm{A}_{k j}\left(\theta_{j} ; \varphi\left(\theta_{j}\right)\right)+ \\ &+\frac{1}{D_{0}} \sum_{k=1}^{4}\left[\sum_{l=1}^{4} c_{k l} \frac{\partial}{\partial z} \omega_{l}\left(\theta_{j}, t\right)+\gamma_{k} \int\limits_{0}^{t} \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial z} F_{k}\left(z+\gamma_{k} t, \tau\right) d \tau\right] \mathrm{A}_{k j}\left(\theta_{j} ; \varphi\left(\theta_{j}\right)\right) \end{aligned} \end{equation} где $A_{k j}$ - алгебраические дополнения элементов $\Upsilon_{k j}$-матрицы $\Upsilon$. В уравнения (39) входят неизвестные функции $\frac{\partial}{\partial z} \omega_{j}, j=\overline{1,4}.$ Для них мы находим интегральные уравнения из $(36)$ с помощью дифференцирования их по переменной $z .$ При этом имеем \begin{equation} \mu=z+\gamma_{i}(\tau-t) \end{equation} где \begin{equation*} G_{j}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}-\tau\right)=\left\{\begin{array}{l} \frac{d}{d t} h_{j}\left(\frac{L-z}{\gamma_{i}}-\tau\right), j=2,4, \\ \frac{d}{d t} g_{j}\left(\frac{L-z}{\gamma_{i}}-\tau\right), j=1,3.\end{array}\right. \end{equation*} Требуем выполнение условий согласования \begin{equation} \begin{aligned} &\frac{d}{d t} \mathrm{~g}_{i}(0)=F_{i}(0,0)-\left.\gamma_{i} \frac{\partial}{\partial z} \varphi_{i}(z)\right|_{z=0}-\sum_{j=1}^{4} c_{i j} \varphi_{j}(0), i=1,3 \end{aligned} \end{equation} \begin{equation} \begin{aligned}&\frac{d}{d t} \mathrm{~g}_{i}(1)=F_{i}(1,0)-\left.\gamma_{i} \frac{\partial}{\partial z} \varphi_{i}(z)\right|_{z=1}-\sum_{j=1}^{4} c_{i j} \varphi_{j}(1), i=2,4 \end{aligned} \end{equation} \section{ ОСНОВНОЙ РЕЗУЛЬТАТ И ЕГО ДОКАЗАТЕЛЬСТВО} Основным результатом настоящей работы является следующее утверждение: \par {\bf Теорема 2.} Пусть выполнены условия теоремы 1, кроме того $\varphi(z) \in C^{2}[0,1], g(t) \in C^{2}[0, T]$, $h(t) \in C^{2}[0, T]$, и выполнены условие (38), условия согласования (41), (42). Тогда на отрезке [0,1] существует единственное решение обратной задачи (21)-(24), из класса $\Psi(t) \in C^{1}[0,1]$, и каждая компонента $\psi_{i} \in C^{1}[0,1]$ определяется заданием $h_{i}(t)$ для $t \in[0,1], i=$ $\overline{1,4}$. \par {\bf Доказательство}. Рассмотрим теперь квадрат \begin{equation*} \Pi_{0}:=\{(z, t): 0 \leq z \leq 1,0 \leq t \leq 1\} . \end{equation*} \par Уравнения (36),(39) и (40), дополненнье начальньями и граничньми условиями из равенсте (21) образует в $\Pi_{0}$ замкнутую систему уравнений относительно неизвестных $w_{i}(z, t), \quad \psi_{i}(t)$, $\frac{\partial}{\partial z} w_{i}(z, t), i=\overline{1,4}$. Уравнения (36),(39) и (40) показывают, что значения функций $w_{i}(z, t), \Psi_{j}(t),\frac{\partial}{\partial z} w_{i}(z, t)$ при $(z, t) \in$ $\Pi_{0}$ выражаются через интегралы от некоторых комбинаций этих же функций по отрезкам, лежащим в $\Pi_{0}$. \par Запишем уравнения (36), (39) и (40) в виде замкнутой системы интегральных уравнений вольтеровского типа второго рода. Для этого введем в рассмотрение вектор-функция $v(z, t)=$ $\left(v_{i}^{1}, v_{i}^{2}, v_{i}^{3}\right), i=\overline{1,4}$ определив задав их компоненты равенствами \begin{equation*} v_{i}^{1}(z, t)=w_{i}(z, t), v_{i}^{2}(z, t)=\psi_{i}(t),$$$$ v_{i}^{3}(z, t)=\frac{\partial}{\partial z} w_{i}(z, t)+\frac{\partial}{\partial z} t_{0}^{i}\sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(z_{0}^{i} ; \varphi\left(z_{0}^{i}\right)\right) \psi_{j}\left(t_{0}^{i}\right) \end{equation*} Тогда система уравнений (36), (39) и (40) принимает операторную форму \begin{equation} v=\mathrm{L} v \end{equation} где оператор $\mathrm{L}=\left(\mathrm{L}_{i}^{1}, \mathrm{~L}_{i}^{2}, \mathrm{~L}_{i}^{3}\right), i=\overline{1,4}$ в соответствии с правыми частями уравнений (36), (39) и (40) определен равенствами \begin{equation} \begin{aligned} &L_{i}^{1} v=v_{i}^{01}(z, t)+\int\limits_{t_{0}^{i}}^{t}\left[\sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}(\mu ; \varphi(\mu)) v_{j}^{2}(\tau)-\sum_{j=1}^{4} c_{i j} v_{j}^{1}(\mu, \tau)\right]_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau+ \\ &+\left.\int\limits_{t_{0}^{i}}^{t} \int\limits_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(\mu ; v_{j}^{1}(\mu, \tau-\eta)\right) v_{j}^{2}(\eta) d \eta\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau, \,\,\,\,i=\overline{1,4}. \end{aligned} \end{equation} \begin{equation} \begin{aligned} &L_{i}^{2} v=v_{i}^{02}(z, t)+\frac{1}{\Upsilon_{0}} \int_{0}^{t} \sum_{k=1}^{4} \sum_{l=1}^{4} \gamma_{k} \Upsilon_{k l}\left(\tau ; \frac{\partial}{\partial z} \varphi_{l}\left(z+\gamma_{k} \tau\right)\right) v_{l}^{1}(\tau) d \tau \mathrm{A}_{k i}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right)- \\ &-\frac{1}{\Upsilon_{0}} \int_{0}^{t} \sum_{k=1}^{4} \sum_{l=1}^{4} \gamma_{k} \Upsilon_{k l}\left(\theta_{k} ; \frac{d}{d t} h_{l}\left(\theta_{k}, t-\tau\right)\right) v_{l}^{2}(\tau) d \tau \mathrm{A}_{k i}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right)+ \\ &+\left.\frac{1}{\Upsilon_{0}} \int_{0}^{t} \int_{0}^{\tau} \sum_{k=1}^{4} \sum_{l=1}^{4} \gamma_{k} \Upsilon_{k l}\left(z ; \frac{\partial}{\partial z} v_{l}^{1}(z, \tau-\alpha)\right) v_{l}^{2}(\tau)\right|_{z=\theta_{i}-\gamma_{k}(t-\tau)} d \alpha d \tau \mathrm{A}_{k i}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right)- \\ &-\frac{1}{\Upsilon_{0}} \sum_{k=1}^{4}\left[\int_{0}^{t} \sum_{l=1}^{4} \gamma_{k} c_{k l} \frac{\partial}{\partial z} v_{l}^{1}\left(z+\gamma_{k} t, \tau\right) v_{l}^{2}(\tau) d \tau\right] \mathrm{A}_{k i}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right), \,\,\,\,i=\overline{1,4}. \end{aligned} \end{equation} \begin{equation} \begin{aligned} &\left.L_{i}^{3} v=v_{i}^{03}(z, t)+\int_{t_{0}^{i}}^{t} [\sum_{j=1}^{4} \frac{\partial}{\partial z} \Upsilon_{i j}(\mu ; \varphi(\mu)) v_{j}^{2}(\tau)-\sum_{j=1}^{4} c_{i j} \frac{\partial}{\partial z} v_{j}^{1}(\mu, \tau)\right]\left.\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau- \\ &-\frac{\partial}{\partial z} t_{0}^{i} \int_{0}^{t_{0}^{i}} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(z_{0}^{i} ; G\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}-\tau\right)\right) v_{j}^{2}(\tau) d \tau+ \\ &+\left.\int_{t_{0}^{i}}^{t} \int_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} \frac{\partial}{\partial z} \Upsilon_{i j}\left(\mu ; w_{j}(\mu, \tau-\eta)\right) v_{j}^{2}(\eta) d \eta\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau,\,\,\, i=\overline{1,4} \end{aligned} \end{equation} В этих формулах введены следующие обозначения: \begin{equation*} v_{i}^{01}(z, t)=w_{i}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)+\left.\int_{t_{0}^{i}}^{t} \frac{\partial}{\partial t} F_{i}(\mu, \tau)\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(z-t)} d \tau, \end{equation*} \begin{equation*} \begin{gathered} v_{i}^{02}(z, t)=\frac{1}{\Upsilon_{0}} \sum_{k=1}^{4}\left[\gamma_{k} \frac{\partial}{\partial z} \Phi_{k}(z)+\frac{\partial^{2}}{\partial t^{2}} h_{k}(t)-\frac{\partial}{\partial z} F_{k}\left(\theta_{k}, t\right)\right] \mathrm{A}_{k i}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right)+ \\ +\frac{1}{\Upsilon_{0}} \sum_{k=1}^{4}\left[\sum_{l=1}^{4} c_{k} \frac{\partial}{\partial z} h_{l}\left(\theta_{i}, t\right)+\gamma_{k} \int_{0}^{t} \frac{\partial^{2}}{\partial t \partial z} F_{k}\left(z+\gamma_{k} t, \tau\right) d \tau\right] \mathrm{A}_{k i}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right), \\ v_{i}^{03}(z, t)=\frac{\partial}{\partial z} w_{i}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)-\frac{\partial}{\partial z} t_{0}^{i}\left[\frac{\partial}{\partial t} F_{i}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)-\sum_{j=1}^{4} c_{i j} w_{i}\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}\right)+\right. \\ \left.+\sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(z_{0}^{i} ; \varphi\left(z_{0}^{i}\right)\right) \psi_{j}\left(t_{0}^{i}\right)\right]+\left.\int_{t_{0}^{i}}^{t} \frac{\partial}{\partial t \partial z} F_{i}(\mu, \tau)\right|_{\mu =z+\gamma_{i}(\tau-t)}. \end{gathered} \end{equation*} Определим на множестве непрерывных функций $C_{\sigma}\left(\Pi_{0}\right)$ норму \begin{equation*} \|v\|_{\sigma}=\max _{1 \leq i \leq 4,1 \leq l \leq 3} \sup _{(z, t) \in \Pi_{0}}\left|v_{i}^{l}(z, t) e^{-\sigma t}\right| \end{equation*} $ \sigma \geq 0$-некоторое число, которое будет выбрано позже. Очевидно, что при $\sigma=0$ это пространство совпадает с пространством непрерывных функций с обычной нормой $\|v\|_{\sigma}$. В силу неравенства \begin{equation*} e^{-\sigma L}\|v\| \leq\|v\|_{\sigma} \leq\|v\|, \end{equation*} нормы $\|v\|_{\sigma}$ и $\|v\|$ эквивалент. \par Далее рассмотрим множество функций $S\left(v^{0}, r\right) \subset C_{\sigma}\left(\Pi_{0}\right)$, удовлетворяющих неравенству \begin{equation} \left\|v-v^{0}\right\|_{\sigma} \leq r, \end{equation} где вектор-функция $v^{0}(z, t)=\left(v_{i}^{01}(z, t), v_{i}^{02}(t), v_{i}^{03}(z, t) \right),i=\overline{1,4}$ определена свободными членами операторного уравнения (43). Нетрудно заметить, что для $v \in S\left(v^{0}, r\right)$ имеет место оценка $\|v\|_{\sigma} \leq\left\|v^{0}\right\|_{\sigma}+r \leq\left\|v^{0}\right\|+r:=r_{0}$. Таким образом, $r_{0}-$ известное число. \par Введем следующие обозначения: \begin{equation*} \varphi_{0}:=\max _{1 \leq i \leq 4}\left\|\varphi_{i}\right\|_{C^{2}[0,1]}, g_{0}:=\max _{1 \leq i \leq 4}\left\|g_{i}\right\|_{C^{2}[0,1]}, F_{0}:=\max _{1 \leq i \leq 4}\left\|F_{i}\right\|_{C^{2}\left[\Pi_{0}\right]} \end{equation*} \begin{equation*} h_{0}:=\max _{1 \leq i \leq 4}\left\|h_{i}\right\|_{C^{2}[0,1]}, \Gamma_{0}:=\max \left\{g_{0}, f_{0}\right\}, P_{0}:=\max _{1 \leq i \leq 4}\left\{\left|\Upsilon\left(\theta_{\mathrm{i}} ; \varphi\left(\theta_{\mathrm{i}}\right)\right)\right|\right\}, \end{equation*} \begin{equation*} \Upsilon_{0} \varphi_{0}=\max _{1 \leq i, j \leq 4}\left\|\Upsilon_{i j}\left(z+\gamma_{i}(\tau-t) ; \varphi\right)\right\|_{C^{1}\left(\Pi_{0}\right)}, A_{0}:=\max _{1 \leq i, j \leq 4}\left\{\left|A_{\mathrm{ij}}\left(\theta_{\mathrm{i}} ; \varphi\left(\theta_{\mathrm{i}}\right)\right)\right|\right\} \end{equation*} Оператор А переводит пространство $C_{\sigma}\left(\Pi_{0}\right)$ в себя. Покажем, что при подходящем выборе $\sigma$ он является на множестве $S\left(v^{0}, r\right)$ оператором сжатия. Убедимся вначале в том, что оператор А переводит множество $S\left(v^{0}, r\right)$ в себя, т.е. из условия $v(z, t) \in S\left(v^{0}, r\right)$ следует, что $Av \in S\left(v^{0}, r\right)$, если $\sigma$ удовлетворяет некоторым ограничениям. В самом деле, для любых $(z, t) \in \Pi_{0}$ и любого $v \in$ $S\left(v^{0}, r\right)$ выполняются неравенства: \begin{equation*} \begin{aligned} &\left|\left(L_{i}^{1} v-v_{i}^{01}\right) e^{-\sigma t}\right|=\left|\int_{t_{0}}^{t} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}(\mu ; \varphi(\mu)) e^{-\sigma(t-\tau)} v_{j}^{2}(\tau) e^{-\sigma t}\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau- \\ &-\left.\int_{t_{0}^{i}}^{t} \sum_{j=1}^{4} c_{i j} e^{-\sigma(t-\tau)} v_{j}^{1}(\mu, \tau) e^{-\sigma t}\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau+ \\ &+\left.\int_{t_{0}^{i}}^{t} \int_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(\mu ; v_{i}^{1}(\mu, \tau-\eta)\right) e^{-\sigma(\tau-\eta)} v_{j}^{2}(\eta) e^{-\sigma \eta} d \eta\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau \mid \leq \\ &\leq 4\left[\left(\Upsilon_{0} \varphi_{0}+c_{0}\right)\|v\|_{\sigma}+\Upsilon_{0}\|v\|_{\sigma}^{2}\right] \int_{0}^{t} e^{-\sigma(t-\tau)} d \tau \leq \\ &\leq \frac{4}{\sigma}\left(\left(\Upsilon_{0} \varphi_{0}+c_{0}\right)+\Upsilon_{0} r_{0}\right) r_{0}:=\frac{1}{\sigma} \alpha_{11} \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} &\left|\left(L_{i}^{2} v-v_{i}^{02}(z, t)\right) e^{-\sigma t}\right|=\mid \frac{1}{D_{0}} \int\limits_{0}^{t} \sum_{k=1}^{4} \sum_{l=1}^{4} \gamma_{k} \Upsilon_{kl}\left(z+\gamma_{k} \tau ; \frac{\partial}{\partial z} \varphi_{l}\left(z+\gamma_{k} \tau\right) e^{-\sigma(t-\tau)} \times\right. \\ &\quad \times v_{l}^{2}(\tau) e^{-\sigma \tau} d \tau \mathrm{A}_{k i}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right)-\frac{1}{D_{0}} \int_{0}^{t} \sum_{k=1}^{4} \sum_{l=1}^{4} \gamma_{k} \Upsilon_{k l}\left(\theta_{k} ; \frac{d}{d t} h_{l}\left(\theta_{k}, t-\tau\right)\right) e^{-\sigma(t-\tau)} \times \\ &\quad \times v_{l}^{2}(\tau) e^{-\sigma \tau} d \tau \mathrm{A}_{k i}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right)+\frac{1}{D_{0}} \int\limits_{0}^{t} \int\limits_{0}^{\tau} \sum_{k=1}^{4} \sum_{l=1}^{4} \gamma_{k} \Upsilon_{k l}\left(z ; \frac{\partial}{\partial z} v_{l}^{1}(z, \tau-\alpha)\right) e^{-\sigma(t-\tau)} \times \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} &\times\left. v_{l}^{2}(\tau) e^{-\sigma \tau}\right|_{z=\theta_{i}-\gamma_{k}(t-\tau)} d \alpha d \tau \mathrm{A}_{k i}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)-\frac{1}{D_{0}} \int_{0}^{t} \sum_{k=1}^{4} \sum_{l=1}^{4} \gamma_{k} c_{k l} e^{-\sigma(t-\tau)} \times\right. \\ &\times\left[v_{l}^{3}\left(z+\gamma_{k} t, \tau\right)-\frac{\partial}{\partial z} t_{0}^{i} \sum_{p=1}^{4} \Upsilon_{l p}\left(z_{0}^{i} ; \varphi\left(z_{0}^{i}\right)\right) v_{p}^{2}\left(t_{0}^{i}\right)\right] e^{-\sigma \tau} d \tau \mathrm{A}_{k i}\left(\theta_{i} ; \varphi\left(\theta_{i}\right)\right) \mid \leq \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} &\leq \frac{16 A_{0}}{D_{0}}\left[\Upsilon_{0}\left(\varphi_{0}+h_{0}+\|v\|_{\sigma}\right)+c_{0}\left(1+\Upsilon_{0} \varphi_{0}\right)\right]\|v\|_{\sigma} \int_{0}^{t} e^{-\sigma(t-\tau)} d \tau \leq \\ &\leq \frac{16 A_{0}}{\sigma D_{0}}\left[\Upsilon_{0}\left(\varphi_{0}+h_{0}+r_{0}\right)+c_{0}\left(1+\Upsilon_{0} \varphi_{0}\right)\right] r_{0}:=\frac{1}{\sigma} \alpha_{12}. \end{aligned} \end{equation*} \begin{equation*} \left.|\left(L_{i}^{3} v-v_{i}^{03}\right) e^{-\sigma t}|=| \int_{t_{0}^{i}}^{t} \sum_{j=1}^{4} \frac{\partial}{\partial z} \Upsilon_{i j}(\mu ; \varphi(\mu)) e^{-\sigma(t-\tau)} v_{j}^{2}(\tau) e^{-\sigma t}\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau- \end{equation*} \begin{equation*} -\left.\int\limits_{t_{0}^{i}}^{t} \sum_{j=1}^{4} c_{i j} e^{-\sigma(t-\tau)}\left(v_{j}^{3}(\mu, \tau)-\frac{\partial}{\partial z} t_{0}^{i} \int\limits_{0}^{t_{0}^{i}} \sum_{p=1}^{4} \Upsilon_{j p}\left(z_{0}^{j} ; \varphi\left(z_{0}^{j}\right)\right) v_{p}^{2}\left(t_{0}^{i}\right)\right) e^{-\sigma \tau}\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau- \end{equation*} \begin{equation*} \begin{gathered} -\frac{\partial}{\partial z} t_{0}^{i} \int_{0}^{t_{0}^{i}} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(z_{0}^{i} ; G\left(z_{0}^{i}, t_{0}^{i}-\tau\right)\right) e^{-\sigma(t-\tau)} v_{j}^{2}(\tau) e^{-\sigma \tau} d \tau+ \\ +\left.\int_{t_{0}^{i}}^{t} \int_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} \frac{\partial}{\partial z} \Upsilon_{i j}\left(\mu ; v_{j}^{1}(\mu, \tau-\eta)\right) e^{-\sigma(\tau-\eta)} v_{j}^{2}(\eta) e^{-\sigma \eta} d \eta\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(t-t)} d \tau \mid \leq \\ \leq 4\left[\Upsilon_{0}\left(\varphi_{0}+h_{0}+\|\nu\|_{\sigma}\right)+c_{0}\left(1+\Upsilon_{0} \varphi_{0}\right)\right]\|\nu\|_{\sigma} \int_{0}^{t} e^{-\sigma(t-\tau)} d \tau \leq \\ \leq \frac{4}{\sigma}\left[\Upsilon_{0}\left(\varphi_{0}+h_{0}+r_{0}\right)+c_{0}\left(1+\Upsilon_{0} \varphi_{0}\right)\right] r_{0}:=\frac{1}{\sigma} \alpha_{13} \end{gathered} \end{equation*} Отсюда и из формулы (43) и (44)-(46) следует, что \begin{equation*} \left\|\mathrm{L} v-v^{0}\right\|_{\sigma}=\max \left\{\max _{1 \leq i \leq 4} \sup _{(z, t) \in \Pi_{0}}\left|\left(\mathrm{~L}_{i}^{1} v-v_{i}^{01}\right) e^{-\sigma t}\right|, \max _{1 \leq i \leq 4} \sup _{t \in[0,1]}\left|\left(\mathrm{L}_{i}^{2} v-v_{i}^{02}\right) e^{-\sigma t}\right|,\right. \end{equation*} \begin{equation*} \left.\max _{1 \leq i \leq 4} \sup _{t \in[0,1]}\left|\left(\mathrm{L}_{i}^{3} v-v_{i}^{03}\right) e^{-\sigma t}\right|\right\} \leq \frac{1}{\sigma} \alpha_{0} \end{equation*} где $\alpha_{0}:=\max \left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$. Выбирая $\sigma>(1 / r) \alpha_{0}$, получим, что оператор L переводит множество $S\left(v^{0}, \rho\right)$ в себя. Возьмем теперь любые функции $v, \tilde{v} \in S\left(v^{0}, r\right)$ и оценим норму разности $U v-U \tilde{v}$. Используя, очевидное неравенство \begin{equation*} \left|v_{i}^{k} v_{i}^{l}-\tilde{v}_{i}^{k} \tilde{v}_{i}^{l}\right| e^{-\sigma t} \leq\left|v_{i}^{k}-\tilde{v}_{i}^{k}\right|\left|v_{i}^{l}\right| e^{-\sigma t}+\left|\tilde{v}_{i}^{k}\right|\left|v_{i}^{l}-\tilde{v}_{i}^{l}\right| e^{-\sigma t} \leq 2 r_{0}\|v-\tilde{v}\|_{\sigma} \end{equation*} и оценки для интегралов, аналогичные приведенным выше, получим \begin{equation*} \left|\left(L_{i}^{1} v-L_{i}^{1} \tilde{v}\right) e^{-\sigma t}\right|=\left|\int_{t_{0}^{i}}^{t} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}(\mu ; \varphi(\mu)) e^{-\sigma(t-\tau)}\left(v_{j}^{2}(\tau)-\tilde{v}_{j}^{2}(\tau)\right) e^{-\sigma t}\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau- \end{equation*} \begin{equation*} -\left.\int_{t_{0}^{i}}^{t} \sum_{j=1}^{4} c_{i j} e^{-\sigma(t-\tau)}\left(v_{j}^{1}(\mu, \tau)-\tilde{v}_{j}^{1}(\mu, \tau)\right) e^{-\sigma t}\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau+ \end{equation*} \begin{equation*} +\left.\int_{t_{0}^{i}}^{t} \int_{0}^{\tau} \sum_{j=1}^{4} \Upsilon_{i j}\left(\mu ; v_{i}^{1}(\mu, \tau-\eta)\right) e^{-\sigma(\tau-\eta)}\left(v_{j}^{2}(\eta)-\tilde{v}_{j}^{2}(\eta)\right) e^{-\sigma \eta} d \eta\right|_{\mu=z+\gamma_{i}(\tau-t)} d \tau \mid \leq \end{equation*} \begin{equation*} \begin{aligned} &\leq 4\left[\left(\Upsilon_{0} \varphi_{0}+c_{0}\right)\|v-\tilde{v}\|_{\sigma}+\Upsilon_{0}\|v-\tilde{v}\|_{\sigma}^{2}\right] \int_{0}^{t} e^{-\sigma(t-\tau)} d \tau \leq \\ &\leq \frac{4}{\sigma}\left(\left(\Upsilon_{0} \varphi_{0}+c_{0}\right)+\Upsilon_{0} r_{0}\right)\|v-\tilde{v}\|_{\sigma}:=\frac{1}{\sigma} \alpha_{21}\|v-\tilde{v}\|_{\sigma} . \end{aligned} \end{equation*} Аналогично получим следующие оценки \begin{equation*} \left|\left(L_{i}^{2} v-L_{i}^{2} v\right) e^{-\sigma t}\right| \leq \frac{16 A_{0}}{\sigma D_{0}}\left[\Upsilon_{0}\left(\varphi_{0}+h_{0}+r_{0}\right)+c_{0}\left(1+\Upsilon_{0} \varphi_{0}\right)\right]\|v-\tilde{v}\|_{\sigma}:=\frac{1}{\sigma} \alpha_{22}\|v-\tilde{v}\|_{\sigma} \end{equation*} \begin{equation*} \left|\left(L_{i}^{3} v-L_{i}^{3} v\right) e^{-\sigma t}\right| \leq \frac{4}{\sigma}\left[\Upsilon_{0}\left(\varphi_{0}+h_{0}+r_{0}\right)+c_{0}\left(1+\Upsilon_{0} \varphi_{0}\right)\right]\|v-\tilde{v}\|_{\sigma}:=\frac{1}{\sigma} \alpha_{2_{3}}\|v-\tilde{v}\|_{\sigma} \end{equation*} Отсюда имеем \begin{equation*} \begin{gathered} \|\mathrm{L} v-\mathrm{L} \tilde{v}\|_{\sigma}=\max \left\{\max _{1 \leq i \leq 4} \sup _{(z, t) \in \Pi_{0}}\left|\left(\mathrm{~L}_{i}^{1} v-\mathrm{L}_{i}^{1} \tilde{v}\right) e^{-\sigma t}\right|, \max _{1 \leq i \leq 4} \sup _{t \in[0,1]}\left|\left(\mathrm{L}_{i}^{2} v-\mathrm{L}_{i}^{2} \tilde{v}\right) e^{-\sigma t}\right|,\right. \\ \left.\max _{1 \leq i \leq 4} \sup _{t \in[0,1]}\left|\left(\mathrm{L}_{i}^{3} v-\mathrm{A}_{i}^{3} \tilde{v}\right) e^{-\sigma t}\right|\right\} \leq \frac{1}{\sigma} \beta_{0}\|v-\tilde{v}\|_{\sigma}, \end{gathered} \end{equation*} где $\beta_{0}:=\max \left(\beta_{1}, \beta_{2}, \beta_{3}\right)$. Выбирая теперь $\sigma>\beta_{0}$, получим, что оператор L сжимает расстояние между элементами $v, \tilde{v}$ на $S\left(v^{0}, \rho\right)$. Как следует из проделанных оценок, если число $\sigma$ выбрано из условия $\sigma>\sigma^{*}:=\max \left\{\alpha_{0}, \beta_{0}\right\}$, то оператор L является сжимающим на $S\left(v^{0}, \rho\right)$. В этом случае согласно принципу Банаха [40, стр. 87-97] уравнение (43) имеет единственное решение в $S\left(v^{0}, \rho\right)$ . Теорема 2 доказана. %%====================================
\RBibitem{uzb2} \by А. М.~Блохин, Н. В.~Бамбаева \book Стационарные решения уравнений несжимаемой вязкоупругой полимерной жидкости \publaddr \publ Журн. вычисл. мат. и мат. физ \yr 2014 Т. 54,№ 5. С. 55–69. \RBibitem{uzb3} \by A.I.~Leonov, A.N.~Prokunin \book Nonlinear phenomena in flows of viscoelastic polymer fluids. \publaddr New York \publ Chapman and Hall \yr 1994.475 p \RBibitem{uzb4} \by J.G.~Oldroyd \book On the formulation of rheological equations of state \publaddr М \publ Proc. R. Soc. \yr 1950. V.200. No 1063. P.523–541 \RBibitem{uzb5} \by R.B.~Bird , C.F.~Curtiss, R.C.~Armstrong, O~Hassager. \book ynamics of Polymeric Liquids \publaddr New York. \publ D Vol. 2. Wiley, \yr 1987.464 p. \RBibitem{uzb1} \by M.~Doi, S.F.~Edwards \book The Theory of Polymer Dynamics. \publaddr Clarendon \publ Oxford, \yr 1986. 391 p. \RBibitem{uzb1} \by В.~Вольтерра \book Теория функционалов, интегральных и интегро--дифференциальных уравнений \publaddr М \publ Наука, Гл. ред. физ.--мат. литер \yr 1982 \RBibitem{uzb2} \by Mura.~Toshio \book Micromechanics of defects in solids, Second, Revised Edition \publaddr Northwestern University, Evanston \publ IL, USA \yr 1987 \RBibitem{uzb3} \by Л. \,Д.~Ландау, Е. \,М.~Лифшиц \book Электродинамика сплошных сред \publaddr М \publ Наука \yr 1959 \RBibitem{uzb4} \by С. \,К.~Годунов \book Уравнения математической физики (2-е изд. ) \publaddr М \publ Наука \yr 1979 \RBibitem{uzb5} \by А.\,А.~Килбас \book Интегральные уравнения: курс лекций \publaddr Минск \yr 2005 \RBibitem{uzb6} \by Ф.\,Р. ~Гантмахер \book Теория матриц \publaddr М \publ Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. \yr 1988 \RBibitem{uzb7} \by V.\,G.~Romanov \paper Inverse problems for equation with a memory \jour Eurasian Jour. of Math. and Computer Applications \yr 2014 \vol 2 \issue 4 \pages 51--80 \RBibitem{uzb8} \by V.\,G.~Romanov \paper Problem of determining the permittivity in the stationary system of Maxwell equations \jour Dokl. Math. \yr 2017 \vol 95 \issue 3 \pages 230--234 \RBibitem{uzb9} \by A.~Lorenzi \paper An identification problem related to a nonlinear hyperbolic integro-differential equation \jour Nonlinear Anal., Theory, Methods Appl. \yr 1994 \vol 22 \issue 1 \pages 21--44 \RBibitem{uzb10} \by Д.\,К.~Дурдиев, Ж.\,Д.~Тотиева \paper Задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости \jour Сиб. журн. индустр. матем. \yr 2013 \vol 16 \issue 2 \pages 72--82 \RBibitem{uzb11} \by В.\,Г.~Яхно \book Обратные задачи для дифференциальных уравнений упругости \publaddr Новосибирск \publ Наука \yr 1989 \RBibitem{uzb12} \by J.~Janno, L.~ Von Wolfersdorf \paper Inverse problems for identification of memory kernels in viscoelasticity \jour Math. Methods Appl. Sci. \yr 1997 \vol 20 \issue 4 \pages 291--314 \RBibitem{uzb13} \by В.\,Г. ~Романов \paper Оценки устойчивости решения в задаче об определении ядра уравнения вязкоупругости \jour Сиб. журн. индустр. матем. \yr 2012 \vol 15 \issue 1 \pages 86--98 \RBibitem{uzb14} \by Д.\,К.~Дурдиев, Ж.\,Д.~Тотиева \paper Задача об определении многомерного ядра уравнения вязкоупругости \jour Владикавк. матем. журн. \yr 2015 \vol 17 \issue 4 \pages 18--43 \RBibitem{uzb15} \by D.\,K.~Durdiev \paper Some multidimensional inverse problems of memory determination in hyperbolic equations \jour Журн. матем. физ., анал., геом. \yr 2007 \vol 3 \issue 4 \pages 411--423 \RBibitem{uzb16} \by Д.\,К.~Дурдиев, Ж.\,Ш. ~Сафаров \paper Обратная задача об определении одномерного ядра уравнения вязкоупругости в ограниченной области \jour Матем. заметки. \yr 2015 \vol 97 \issue 6 \pages 855--867 \RBibitem{uzb17} \by Д.\,К.~Дурдиев, З.\,Р.~Бозоров \paper Задача определения ядра интегродифференциального волнового уравнения со слабо горизонтальной однородностью \jour Дальневост. матем. журн. \yr 2013 \vol 13 \issue 2 \pages 209--221 \RBibitem{uzb18} \by В.\,Г. ~Романов \paper Задача об определения ядра в уравнении вязкоупругости \jour Докл. АН. \yr 2012 \vol 446 \issue 1 \pages 18--20 \RBibitem{uzb19} \by Д.\,К.~Дурдиев, А.\,А. ~Рахмонов \paper Обратная задача для системы интегро-дифференциальных уравнений SH-волн в вязкоупругой пористой среде: глобальная разрешимость \jour ТМФ. \yr 2018 \vol 195 \issue 3 \pages 491--506 \RBibitem{uzb20} \by Д.\,К.~Дурдиев, А.\,А. ~Рахмонов \paper Задача об определении двумерного ядра в системе интегро-дифференциальных уравнений вязкоупругой пористой среды \jour Сиб. журн. индустр. матем. \yr 2020 \vol 23 \issue 2 \pages 63--80 \RBibitem{uzb21} \by D.\,K.~Durdiev, A.\,A.~Rahmonov \paper A 2D kernel determination problem in a visco-elastic porous medium with a weakly horizontally inhomogeneity \jour Mathematical Methods in the Applied Sciences \yr 2020 \vol 43 \issue 15 \pages 8776--8796 \RBibitem{uzb22} \by D.\,K.~Durdiev, Z.\,D. ~Totieva \paper The problem of determining the one-dimensional matrix kernel of the system of viscoelasticity equations \jour Mathematical Methods in the Applied Sciences \yr 2018 \vol 41 \issue 17 \pages 8019--8032 \RBibitem{uzb23} \by Z.\,D. ~Totieva, D.\,K.~Durdiev \paper The Problem of Finding the One-Dimensional Kernel of the Thermoviscoelasticity Equation \jour Mathematical Methods in the Applied Sciences \yr 2018 \vol 103 \issue 1-2 \pages 118--132 \RBibitem{uzb24} \by Z.\,S. ~Safarov, D.\,K.~Durdiev \paper Inverse Problem for an Integro-Differential Equation of Acoustics \jour Differential Equations \yr 2018 \vol 54 \issue 1 \pages 134--142 \RBibitem{uzb25} \by D.\,K.~Durdiev, Z.\,D.~Totieva \paper The problem of determining the one-dimensional kernel of viscoelasticity equation with a source of explosive type \jour Journal of Inverse and Ill-Posed Problems \yr 2020 \vol 28 \issue 1 \pages 43-52 \RBibitem{uzb26} \by У.\, Д.~Дурдиев \paper Обратная задача для системы уравнений вязкоупругости в однородных анизотропных средах \jour Сиб. журн. индустр. матем. \yr 2019 \vol 22 \issue 4 \pages 26-32 \RBibitem{uzb27} \by Р.\,В.~Бризицкий, А.\,С.~Савенкова \paper О регулярности решения одной краевой задачи для уравнений Максвелла \jour Дальневост. матем. журн. \yr 2009 \vol 9 \issue 1--2 \pages 24-28 \RBibitem{uzb28} \by И.\,В.~Прохоров, В.\,В.~Золотарев, И.\,Б.~Агафонов \paper Задача акустического зондирования во флуктуирующем океане \jour Дальневост. матем. журн. \yr 2011 \vol 11 \issue 1 \pages 76--87 \RBibitem{uzb29} \by M.\,K.~Teshaev, I.\,I.~Safarov, N.\,U.~Kuldashov, M.\,R.~Ishmamatov, T.\,R.~Ruziev \paper On the Distribution of Free Waves on the Surface of a Viscoelastic Cylindrical Cavity \jour Journal of Vibrational Engineering and Technologies \yr 2020 \vol 8 \issue 4 \pages 579-585. \RBibitem{uzb30} \by I.~Safarov, M.~Teshaev, E.~Toshmatov, Z.~Boltaev, F.~Homidov \paper Torsional vibrations of a cylindrical shell in a linear viscoelastic medium \jour IOP Conference Series: Materials Science and Engineering \yr 2020 \vol 883 \issue 1 \pages 12-19 \RBibitem{uzb31} \by M.\,K.~Teshaev, I.\,I.~Safarov, M.~Mirsaidov \paper Oscillations of multilayer viscoelastic composite toroidal pipes \jour Journal of the Serbian Society for Computational Mechanics \yr 2019 \vol 13 \issue 2 \pages 104-115 \Bibitem{uzb32} \by M.\,K.~Teshaev \paper Realization of servo-constraints by electromechanical servosystems \jour Russian Mathematics. \yr 2019 \vol 13 \issue 2 \pages 104--115 \Bibitem{uzb33} \by V.\,G.~Romanov, A.\,L.~Karchevsky \paper Determination of permittivity and conductivity of medium in a vicinity of a well having complex profile \jour Eurasian Journal of Mathematicaland Computer Applications \yr 2018 \vol 6 \issue 4 \pages 62--72 \Bibitem{uzb34} \by A.\,L.~Karchevsky \paper A numerical solution to a system of elasticity equations for layered anisotropic media \jour Russian Geology and Geophysics \yr 2005 \vol 46 \issue 3 \pages 339--351 \Bibitem{uzb35} \by A.\,L.~Karchevsky \paper The direct dynamical problem of seismics for horizontally stratified media \jour Sib.Electron. Mat. Izv. \yr 2005 \vol 2 \issue 2 \pages 23--61 \Bibitem{uzb36} \by A.\,L.~Karchevsky \paper Numerical solution to the one-dimensional inverse problem for an elastic system \jour Dokl. Earth Sci. \yr 2000 \vol 3 \issue 8 \pages 23--61 \Bibitem{uzb37} \by A.\,L.~Karchevsky \paper Simultaneous reconstruction of permittivity and conductivity \jour Inverse and III-Posed Probl. \yr 2009 \vol 17 \issue 4 \pages 387--404 \Bibitem{uzb38} \by E.~Kurpinar, A.\,L.~Karchevsky \paper Numerical solution of the inverse problem for the elasticity system for horizontally stratified media \jour Inverse and III-Posed Probl. \yr 2004 \vol 20 \issue 3 \pages 953--976 \Bibitem{uzb39} \by A.\,L.~Karchevsky \paper Numerical reconstruction of medium parameters of member of thin anisotropic layers \jour Inverse and III-Posed Probl. \yr 2004 \vol 12 \issue 5 \pages 519--534 \RBibitem{uzb40} \by U.\,D.~Durdiev \paper Numerical method for determining the dependence of the dielectric permittivity on the frequency in the equation of electrodynamics with memory \jour Sib. Electron. Mat. Izv. \yr 2020 \vol 17 \pages 179--189 \RBibitem{uzb41} \by Z.\,R.~Bozorov \paper Numerical determining a memory function of a horizontally-stratified elastic medium with aftereffect \jour Eurasian journal of mathematical and computer applications \yr 2020 \vol 8 \issue 2 \pages 4--16 \RBibitem{uzb42} \by Д.\,К.~Дурдиев, Х.\,Х.~Турдиев \paper Обратная задача для гиперболической системы первого порядка с памятью \jour Дифференциальные уравнения \yr 2020 \vol 56 \issue 12 \pages 1666--1675 \RBibitem{uzb43} \by D.\,K.~Durdiev, Kh.\,Kh.~Turdiev \paper The problem of finding the kernels in the system of integro-differential Maxwell's equations \jour Sib. Zh. Ind. Math. \yr 2021 \vol 24 \issue 2 \pages 38--61 \RBibitem{uzb44} \by А.\,Н.~Колмогоров, С.\,В.~Фомин \book Элементы теории функций и функционального анализа \publaddr М \publ Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит. \yr 1989 \end{thebibliography} \EndArticle \end{document} Download 127,24 Kb. Do'stlaringiz bilan baham:
|
kiriting | ro'yxatdan o'tish
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish
Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha
yuklab olish