Diskret matematika va matematik mantiq fanidan

4-misol. formula istalgan ixtiyoriy sohada aynan yolg'on va shuning uchun Ham u bajarilmas formula bo‘ladi.

Endi predikatlar mantiqidagi formulalarning umumqiymatligi va bajariluvchanligi orasidagi munosabatni ko‘rib o‘taylik.

2-teorema. A umumqiymatli formula bo‘lishi uchun uning inkori бажарилувчи формула бўлмаслиги етарли ва зарурдир.

Isbot. Zarurligi. A umumqiymatli formula bo‘lsin. U Holda, ravshanki, - istalgan sohada aynan yolg’on formula bo‘ladi va shuning uchun Ham u bajarilmas formuladir.

istalgan sohada bajariluvchi formula bo‘lmasin. U Holda bajarilmas formulaning ta'rifiga asosan istalgan sohada aynan yolg’on formuladir. Demak, istalgan sohada aynan chin formula bo‘ladi va u umumqiymatlidir.

3-teorema. bajariluvchi formula bo‘lishi uchun ning umumqiymatli formula bo‘lmasligi yetarli va zarurdir.

Isbot. Zarurligi. bajariluvchi formula bo‘lsin. U vaqtda shunday M soha va formula tarkibiga kiruvchi o‘zgaruvchilarning shunday qiymatlar majmui (satri) mavjudki, formula bu qiymatlar satrida chin qiymat qabul qiladi. Aniqki, o‘zgaruvchilarning bu qiymatlar satrida formula yolg’on qiymat qabul qiladi va, demak, umumqiymatli formula bo‘laolmaydi.

Yetarliligi. A umumqiymatli formula bo‘lmasin. U vaqtda shunday M soha va A formula tarkibiga kiruvchi o‘zgaruvchilarning shunday qiymatlar satri mavjudki, A formula bu qiymatlar satrida yolg’on qiymat.

Bu qiymatlar satrida A formula chin qiymat qabul qilganligi uchun u bajariluvchi formula bo‘ladi.