Differensiallanuvchi funksiya uchun o`rta qiymat haqida teoremalar. Teylor formulasi. Lopital qoidasi. Mustaqil yechish uchun misollar Roll teoremasi

DIFFERENSIALLANUVCHI FUNKSIYA UCHUN O`RTA QIYMAT HAQIDA TEOREMALAR. TEYLOR FORMULASI. LOPITAL QOIDASI.
Mustaqil yechish uchun misollar


Roll teoremasi: funksiya [a;b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lsin. Agar funksiya (a;b) intervalda differensiallanuvchi bo`lib, f(a)=f(b) tenglik o‘rinli bo‘lsa, u holda (a;b) intervalga tegishli hech bo`lmaganda bitta shunday c nuqta topiladiki, bo‘ladi.
Lagranj teoremasi: funksiya [a;b] kesmada aniqlangan va uzluksiz bo‘lib, (a;b) intervalda differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda (a;b) intervalga tegishli hech bo‘lmaganda bitta shunday c nuqta topiladiki, munosabat o‘rinli bo‘ladi.
Koshi teoremasi: Agar ikkita f(x) va _{ } funksiyalar [a, b] kesmada uzluksiz va uning ichida differensiallanuvchu bo`lsa, shu bilan birga _{ } shu kesma ichining hech qayerida nolga aylanmasa, u holda [a, b] kesma ichida shunday x=c, a nuqta topiladiki, unda

Teylor-Makloren formulasi
ifoda
Teylor formulasi, R_n(x) Teylor formulasining qoldiq hadi.
Teylor formulasining a=0 dagi hususiy ko’rinishi

Makloren formulasi deyiladi.
Bu formula funksiyaning erkli o‘zgaruvchi x ning darajalari bo‘yicha yoyilmasini beradi.
Lopital qoidasi: Aytaylik, biror [a, b] kesmada f(x) va _{ } funksiyalar Koshi teoremasining shartlarini qanoatlantirsin va uning biror x=a nuqtasida nolga aylansin, yani _{ } (yoki _{ }) bo`lsin; u holda <sub> </sub>da <sub> </sub> nisbatning limiti mavjud bo`lsa, _{ } da _{ } ham limiti mavjud bo`ladi, shu bilan birga
1)
2) .


Roll, Lagranj, Koshi teoremalariga doir misollar.
1. funksiya uchun [-1;1] segmentda Roll teoremasini tatbiq etish mumkinmi?

1. 
   f(x) funksiya uchun Roll teoremasining birinchi sharti bajariladi: f(x) funksiya [-1;1]da uzluksiz.
   
2. 
   f(x) funksiya uchun ikkinchi shart ham bajariladi. f `(x) =x³ hosila mavjud.
   

1. 
   f(x) funksiya uchun ƒ(-1)=ƒ(1)=1/4 tenglik o‘rinli. Demak, f `(c)=0 bo‘ladigan nuqta mavjud: f`(x)=x³=0, x=c=0 da o‘rinli.
   

ƒ ‘(c)=ƒ ‘(0)=0
2. y=x² parabolaning qaysi nuqtasiga o‘tkazilgan urinma A(-1;1) va B(3;9) nuqtalarini birlashtiruvchi vatarga parallel bo‘ladi?

a= -1; b=3

AB vatarning burchak koeffitsienti

y`=f ‘(x)=2x; 2x=2 tenglik faqat x=1 bo‘lganda o‘rinli, demak x=1 nuqtaga o‘tkazilgan urinma vatarga parallel.