Differensial tenglamalarning tadbiqlari. Taqribiy yechish usullari: Eyler, Runge-Kutta va ketma-ket yaqinlashish usullari. Dasturlar majmuasidan foydalanish. Differensial tenglamalarning amaliy masalalarni yechishga tadbiqlari

b) Endi yukning BC boʻlakdagi harakatini oʻrganamiz: topilgan tezlik yukning yangi boʻlakdagi boshlangʻich tezligi boʻladi. Yukning ixtiyoriy holatida ta’sir etuvchi kuchlarni F bilgan holda, B nuqtadan Bx oʻqni oʻtkazib, uning harakatini shu oʻqqa proektsiyasi differentsifl tenglamasini tuzamiz:

(8)

boʻlgani uchun (8) tenglama quyidagi koʻrinishni oladi

(9)

ekanligini e’tiborga olib, tenglamani integrallasak

(10)

ga ega boʻlamiz. t q 0 da boʻlgani uchun (10) tenglikdan quyidagini olamiz

(11)

Buni (10) ga qoʻyib, har ikkala tomonini dt ga koʻpaytirib integrallasak

kelib chiqadi. t = 0 da x = 0 boʻlgani uchun boʻladi. Demak, yukning BC boʻlakdagi harakat qonuni

(12)

koʻrinishda boʻladi (bu erda x materiallarda, t esa sekundlarda oʻlchangan).

2. Geometrik masalalarni yechishda, avval chizmani chizib olish kerak. Keyin izlanayotgan funksiyani y = y (x) orqali belgilab masala shartini miqdorlarni x, y va ( urinmaning burchak koeffitsienti ekanligidan foydalanish kerak)lar orqali ifodalansa, hosil boʻlgan tenglik differentsial tenglama boʻladi. Differentsial tenglamani yechib, y = y (x) izlanayotgan funksiyani topamiz.

Misol. egri chiziqlar ( – parametr) oilasining izogonal traektoriyalarini toping (shu oila egri chiziqlari bilan bir xil burchak ostida kesishuvchi boshqa bir oila izogonal traektoriyalari deyiladi)

Yechimi. Berilgan chiziqlar oilasining differentsial oilasini tuzamiz. Buning uchun quyidagi sistemadan C parametrni yoʻqotamiz:

(1)

Natijada berilgan chiziqlar oilasining

koʻrinishdagi tenglamasini olamiz (bu erda umuman olganda koʻrinishdagi tenglama hosil boʻladi, biz uni ga nisbatan yechib olish mumkin deb faraz qilamiz).

Ma’lumki, nuqtada kesishuvchi ikki egri chiziq orasidagi burchak deb, egri chiziqlarga bu nuqtalarda oʻtkazilgan urinmalar orasidagi burchakka aytiladi. Biri birinchi (berilgan), ikkinchisi ikkinchi (topish kerak boʻlgan) chiziqlar oilasiga tegishli boʻlgan nuqtada oʻzaro kesishuvchi ixtiyoriy ikkita chiziqni I va II deb belgilab olaylik (2-rasmga qarang). I va II chiziqlarga M nuqtada oʻtkazilgan urinmalarning OX oʻqi bilan hosil qilgan burchaklarni mos ravishda bilan belgilasak, I va II chiziqlar orasidagi burchak boʻladi. Bundan

(2)

2-rasm.	tenglikni olamiz. Tushunarliki, –ma’lum ( burchak berilgan), ( chiziqqa berilgan nuqtadan oʻtkazil­gan urinmaning burchak koeffitsientini beradi). Demak, (2) munosabat (3)

koʻrinishida boʻladi. Bu umumiy integrali berilgan egri chiziqlar oilasi uchun izogonal traektoriyalar boʻladi, ular berilgan egri chiziqlarni bir xil burchak ostida kesib oʻtadi. Agar traektoriyalar ortogonal boʻlsa, u holda

boʻlib, ortogonal traektoriyalar oilasining differentsial tenglamasi ushbu koʻrinishda boʻladi:

(4)

Xususan, chiziqlar oilasiga ortogonal boʻlgan (chiziq­lar oilasini) traektoriyalarini topish kerak boʻlsin.

Avvalo, chiziqlar oilasining differentsial tenglamasini tuzib olamiz:

Demak, berilgan chiziqlar oilasining differentsial tenglamasi ekan. (4) tenglikka koʻra izlanayotgan traektoriyalarning differentsial tenglamasi

(5)

koʻrinishda boʻladi. Bu differentsial tenglamani echamiz

Demak, izlanayotgan chiziqlar oilasining tenglamasi boʻladi.

Misol. Shunday chiziqni topingki, uning ixtiyoriy nuqtasidan oʻtkazilgan urinma, urinish nuqtasi ordinatasi va abstsissalar oʻqi xosil qilgan uchburchak yuzi oʻzgarmas ga teng boʻlsin.

3-rasm.

Yechimi. Izlanayotgan chiziqning ixtiyoriy nuqtasini olaylik (3-rasmga qarang). Tushunarliki, chiziqqa nuqtadan oʻtka­zilgan urinma bilan OX oʻqi orasidagi burchak uchun tenglik oʻrinli. Biz quyida­gilarga egamiz:

Ikkinchi tomondan demak, quyidagi differentsial tenglamaga ega boʻlamiz:

Bu tenglamani oʻzgaruvchilarini ajratib echamiz:

Shunday qilib, biz masalaning yechimini oldik, izlangan chiziq koʻrinishida boʻlar ekan.