Differensial tenglamalarning avtonom (muhtor) sistemasi

Differensial tenglamalarning avtonom (muhtor) sistemasi
Reja
1. Avtonom (muhtor) sistemalar.
2. Normal avtonom sistemaning muvozanat nuqtasi.
3. Mahsus nuqta.
1-reja. Agar oddiy differensial tenglamalar sistemasida erkli o’zgaruvchi oshkor holda qatnashmasa, bunday sistema avtonom sistema deyiladi.
Normal avtonom sistema

ko'rinishda yoki

vektorli ko’rinishda yoziladi, bu yerda erkli o’zgaruvchi. (1) sistema qaralayotgan sohada mavjudlik va yagonalik haqidagi Pikar teoremasi shartlarini qanoatlantirsin.
1-teorema. Agar vektor funksiya (2) avtonom sistemaning yechimi bo’lsa, u holda ihtiyoriy o’zgarmas lar uchun vektor funksiya ham (2) sistemaning yechimi bo’ladi.
Isbot. ayniyat barcha lar uchun o’rinli. Bundan hosil bo’ladi. tenglikni hisobga olsak ayniyatga ega bo’lamiz. Teorema isbotlandi.
2-teorema. Agar va vektor funksiyalar (2) avtonom sistemaning yechimi bo’lsa, u holda bu yechimlar yo birorta nuqtada ham kesishmaydi yo butunlay ustma ust tushadi.
Isbot. Faraz qilaylik va vektor funksiyalar kesishsin, yani , bu yerda . Agar bol’sa yagonalik teoremasiga zid hulosaga ega bolamiz. Agar barcha lar uchun ayniyat bajarilishini ko’rsatsak, va yechimlar ustma-ust tushishini ko’rsatgan bo’lamiz. va yechimlar (2) sistemaning ayni bitta nuqtasidan chiqadi. Yagonalik teoremasiga ko’ra ayniyat o’rinli. Teorema isbotlandi.
2-reja. Ushbu

sistemaning yecimi bo’lgan nuqta (1) normal sistemaning muvozanat nuqtasi deyiladi.
Misol. Differensial tenglamalar sistemasining muvozanat nuqtalarini aniqlang.

Yechish.

sistemani yechamiz: . Javob.
Hususan

chiziqli o’zgarmas koeffisientli bir jinsli sistema uchun nuqta hamma vaqt muvozanat nuqta bo’ladi. Koordinatalar boshi atrofida (3) sistemaning integral chiziqlari hosil qilgan shaklga ko’ra, muvozanat nuqta turlarga ajratiladi.
Agar (3) sistemaning hos sonlari, ya’ni

tenglamaning ildizlari haqiqiy, har-hil va musbat bo’lsa, u holda muvozanat nuqta turi noturg’un tugun hisoblanadi.
Agar (3) sistemaning hos sonlari haqiqiy, har-hil va manfiy bo’lsa, u holda muvozanat nuqta turi turg’un tugun hisoblanadi.
Agar (3) sistemaning hos sonlari haqiqiy va turli ishorali bo’lsa, u holda muvozanat nuqta turi egar hisoblanadi.
Agar (3) sistemaning hos sonlari kompleks sonlar bo’lib bo’lsa, u holda muvozanat nuqta turi noturg’un fokus hisoblanadi.
Agar (3) sistemaning hos sonlari kompleks sonlar bo’lib bo’lsa, u holda muvozanat nuqta turi turg’un fokus hisoblanadi.
Agar (3) sistemaning hos sonlari sof mavhum sonlar bo’lsa, u holda muvozanat nuqta turi markaz hisoblanadi.
Agar (3) sistemaning hos sonlari haqiqiy, karrali va musbat bo’lsa, u holda muvozanat nuqta turi turg’un tugilma (dikritik, aynigan) tugun hisoblanadi.
Agar (3) sistemaning hos sonlari haqiqiy, karrali va manfiy bo’lsa, u holda muvozanat nuqta turi noturg’un tugilma (dikritik, aynigan) tugun hisoblanadi.
Agar (3) sistemaning hos sonlaridan kamida bittasi nolga teng bo’lgan holda muvozanat nuqta turi nomlanmagan.
Mvozanat nuqta atrofida (3) sitema integral chiziqlari hosil qilgan shakllar chizmasini Salohitdinov M.C., Nasritdinov G’.N. Oddiy differensial tenglamalar. T. O’zbekiston. 1994. 383b. kitobidan topish mumkin.
Misol. Sistemaning muvozanat holati turini aniqlang

Yechish. Harakteristik tenglamani tuzamiz:

Bundan . Hos sonlar sonlar haqiqiqy va turli ishorali. Demak muvozanat nuqta egar tipga mansub.
3-reja. Hosilaga nisbatan yechilgan brinchi tartibli ushbu

differensial tenglamani qaraylik.

sistemaning yechimi bu differensial tenglamaning mahsus nuqtasi deyiladi.
Misol. differensial tenglamaning mahsus nuqtasini toping

Yechish.

sistemani yechamiz: . Javob: .
Hususan

bir jinsli differensial tenglama uchun nuqta mahsus nuqta bo’ladi. Koordinatalar boshi atrofida (4) differensial tenglamaning integral chiziqlari hosil qilgan shaklga ko’ra, mahsus nuqta turlarga ajratiladi. Shuni ta’kidlash joizki (3) sistemaning muvozanat nuqtasi qaysi turga mansub bo’lsa, (4) differensial tenglamaning mahsus nuqtasi ham ayni shu turga mansub hisoblanadi.
Misol. Differensial tenglamaning mahsus nuqtasi turini aniqlang

Yechish. Harakteristik tenglamani tuzamiz

Bundan . Hos sonlar sof mavhum. Demak mahsus nuqta turi fokus.