Mustaqil ish Mavzu: Brinchi tartibli differentsial tenglamaning maxsus yechimi. Klero tenglamasi. Baxshullayev Maruf Mavzu

Mustaqil ish
Mavzu:Brinchi tartibli differentsial tenglamaning maxsus yechimi.Klero tenglamasi.

Baxshullayev Maruf
Mavzu:Brinchi tartibli differentsial tenglamaning maxsus yechimi.Klero tenglamasi.
Reja:

1. 
   Brinchi tartibli differentsial tenglamaning maxsus yechimi.
   
2. 
   Klero tenglamasi.
   
3. 
   Foydalanilgan adabiyotlar.
   

1.Brinchi tartibli differentsial tenglamaning maxsus yechimi.
Fan va texnikaning ko'pgina muammolari oddiy differensial tenglamalarni (ODE) echishga qisqartiriladi. ODElar - kerakli funktsiyaning bir yoki bir nechta hosilalarini o'z ichiga olgan tenglamalar. Umuman olganda, ODE quyidagicha yozilishi mumkin:
Bu erda x mustaqil o'zgaruvchi, talab qilinadigan funktsiyaning i-hosilasi. n - tenglamaning tartibi. n-tartibli ODE ning umumiy yechimi n ta ixtiyoriy konstantadan iborat, ya’ni umumiy yechim.
Bitta yechim tanlash uchun n ta qo'shimcha shartni ko'rsatish kerak. Qo'shimcha shartlarni belgilash usuliga qarab ikki xil turdagi masalalar mavjud: Koshi muammosi va chegaraviy masala. Agar bir nuqtada qo'shimcha shartlar ko'rsatilgan bo'lsa, unda bunday muammo Koshi muammosi deb ataladi. Koshi masalasidagi qo'shimcha shartlar boshlang'ich shartlar deyiladi. Agar bir nechta nuqtada qo'shimcha shartlar ko'rsatilgan bo'lsa, ya'ni. mustaqil o'zgaruvchining turli qiymatlari uchun bunday muammo chegaraviy masala deb ataladi. Qo'shimcha shartlarning o'zi chegara yoki chegara shartlari deb ataladi.
Ko'rinib turibdiki, n = 1 uchun biz faqat Koshi muammosi haqida gapirishimiz mumkin.
Koshi muammosini o'rnatishga misollar:

Chegaraviy masalalarga misollar:

Bunday masalalarni faqat ayrim maxsus turdagi tenglamalar uchun analitik tarzda yechish mumkin.
Birinchi tartibli ODElar uchun Koshi masalasini echishning raqamli usullari
Muammoni shakllantirish... Birinchi tartibli ODE yechimini toping
Taqdim etilgan segmentda
Taxminiy yechim topilganda, hisob-kitoblar hisoblangan qadam bilan amalga oshirilgan deb hisoblaymiz, hisoblangan tugunlar oraliq nuqtalari [ x 0 , x n ].

bular. panjara tugunlarida y ning taxminiy qiymatlari qidiriladi.
Tenglamani segmentga integrallash orqali biz hosil qilamiz

Olishning mutlaqo tabiiy (lekin yagona emas) usuli raqamli yechim undagi integralni sonli integrallashning qandaydir kvadratura formulasi bilan almashtirishdir. Agar birinchi tartibdagi chap to'rtburchaklar uchun eng oddiy formuladan foydalansak

olamiz aniq Eyler formulasi:
Hisoblash tartibi:
Bilish, biz topamiz, keyin va hokazo

Eyler usulining geometrik talqini:

Shu nuqtada haqiqatdan foydalanib x 0 ma'lum yechim y(x 0)= y 0 va uning hosilasi qiymati, siz nuqtada kerakli funktsiya grafigiga teginish tenglamasini yozishingiz mumkin:. Etarlicha kichik qadam bilan h qiymatning o'ng tomoniga almashtirish orqali olingan bu tangensning ordinatasi ordinatadan ozgina farq qilishi kerak y(x 1) yechimlar y(x) Koshi muammosi. Shuning uchun tangensning to'g'ri chiziq bilan kesishish nuqtasi x = x 1 taxminan yangi boshlanish nuqtasi sifatida qabul qilinishi mumkin. Ushbu nuqta orqali yana to'g'ri chiziq torting, bu nuqtaga tegishning harakatini taxminan aks ettiradi. Bu yerni almashtirish (ya'ni, chiziq bilan kesishish x = x 2), biz taxminiy qiymatni olamiz y(x) nuqtada x 2: va boshqalar. Natijada, uchun i- Shu nuqtada Eyler formulasini olamiz.

Aniq Eyler usuli aniqlik yoki yaqinlashishning birinchi tartibiga ega.
To'g'ri to'rtburchaklar formulasidan foydalanish:

keyin usulga kelamiz

Bu usul deyiladi yashirin Eyler usuli, chunki ma'lum qiymatdan noma'lum qiymatni hisoblash uchun umumiy holatda chiziqli bo'lmagan tenglamani echish kerak.

Yashirin Eyler usuli aniqlik yoki yaqinlashishning birinchi darajasiga ega.
Ushbu usulda hisoblash ikki bosqichdan iborat:

Bu sxema bashoratchi-tuzatuvchi usul (bashoratchi-tuzatuvchi) deb ham ataladi. Birinchi bosqichda taxminiy qiymat past aniqlik (h) bilan bashorat qilinadi, ikkinchi bosqichda esa bu bashorat tuzatiladi, natijada olingan qiymat ikkinchi aniqlik tartibiga ega bo'ladi.

Runge - Kutta usullari: aniq Runge-Kutta usullarini yaratish g'oyasi p- Bu buyurtma qiymatlarga yaqinliklarni olishdir y(x i+1) shakl formulasi bo'yicha

Bu yerda a n , b nj , p n, - ba'zi sobit raqamlar (parametrlar).
Runge – Kutta usullarini qurishda funksiya parametrlari ( a n , b nj , p n) kerakli yaqinlashish tartibini oladigan tarzda tanlanadi.
Runge - to'rtinchi darajadagi aniqlikning Kutta sxemasi: