|
2.4. Koshi masalasining mavjudlik va yagonalik sharti
11-misol. Koshi masalasining yechimi mavjudmi?
koʻrish mumkinki bu Koshi masalasini yechimi mavjud emas.
Demak, Koshi masalasi har doim ham yechimiga ega emas, agar yechim mavjud boʻlsa, u yagona boʻladimi? kabi savol berilishi tabiiy. Yechimning yagonaligi differensial tenglamalar olingan jarayonlarda biror qonun mavjud boʻlib boshqa qonun yoʻqligini, harakat yoki jarayon faqat shu qonun orqali amalga oshishini bildiradi.
Yuqorida qoʻyilgan savolga quyidagi Pikar teoremasi javob beradi.
Teorema (Pikar teoremasi). Agar (2.1) tenglamada funksiya
toʻgʻri toʻrtburchakda uzluksiz, (demak unda chegaralangan, yaʼni
(2.21)
oʻzgaruvchi boʻyicha Lipshis shartini qanoatlantirsa, u holda (2.1) tenglamani (2.20) shartini qanoatlantiradigan va
intervalda aniqlangan yagona yechimi mavjud.
Teoremada keltirilgan Lipshis sharti sohada aniqlangan ikki oʻzgaruvchili funksiya uchun quyidagicha boʻladi. Ixtiyoriy nuqtalar uchun ushbu
(2.22)
tengsizlik oʻrinli boʻlsa, sohada u boʻyicha Lipshis shartini qanoatlantiradi deyiladi. – Lipshis oʻzgarmasi.
Eslatma. Teoremadagi Lipshis shartini bajarilishini talab qilish oʻrniga funksiyadan boʻyicha hosilani uzluksizligini talab qilish mumkin.
Yaʼni
.
Endi Pikar teoremasini isbot qilishga oʻtamiz. Buning uchun avvalo quyidagi ikkita lemmani keltiramiz.
Lemma 1. (ekvivalentlik lemmasi)
Agar funksiya nuqtani oʻz ichiga olgan biror intervalda aniqlangan boʻlib (2.1), (2.20), Koshi masalasining yechimi boʻlsa, u holda funksiya intervalda
(2.23)
integral tenglamaning yechimi boʻladi va aksincha, agar funksiya (8) tenglamaning yechimi boʻlsa, u holda funksiya (2.1), (2.20), Koshi masalasini yechimi boʻladi.
Isbot. funksiya (1.1) tenglamaning yechimi boʻlganligi uchun
ayniyat oʻrinli boʻladi. Bu ayniyatni dan gacha integrallaymiz
(2.20) shartdan foydalansak,
.
Bu tenglikdan koʻrinadiki, funksiya (2.23) tenglamaning yechimi.
Endi teskarisiga isbotlaymiz, funksiya (2.23) ning yechimi boʻlsa, ni (2.23) ga qoʻyamiz va undan hosila olamiz.
Demak, bu tenglik funksiya (2.1) tenglamaning yechimi ekanligini koʻrsatadi. Lemma isbot boʻldi.
Lemma 2. (Gronuoll lemmasi)
Agar funksiya intervalda manfiymas, uzluksiz boʻlib, shu intervalda ushbu
(2.24)
integral tengsizlikni qanoatlantirsa, shu funksiya uchun quyidagi
tengsizlik oʻrinli boʻladi
Xususiy holda agar boʻlsa .
Ushbu lemmaning isboti belgilash kiritib, (2.24) ga qoʻyish bilan isbotlanadi.
Yuqoridagi ikki lemmadan foydalanib, teoremani isbotlash mumkin.
Pikar teoremasining isboti, mavjudligi.
Lemmaga koʻra (2.1), (2.20) masala oʻrniga unga ekvivalent boʻlgan
integral tenglamani yechish masalasini koʻramiz. Yechimni ketma-ket yaqinlashish usuli bilan izlaymiz. intervalda aniqlangan funksiyalar ketma-ketligini tuzamiz.
.
Bu funksiyalarning grafigi koʻrilayotgan intervalda toʻgʻri toʻrt burchakdan chiqib ketmasligini asoslab qoʻyamiz, yaʼni uchun boʻlib boʻlsin, unda da
Xuddi shunday da
,
ixtiyoriy uchun
,
eslatib oʻtamizki bunda biz quyidagi formuladan foydalandik
.
Shunday qilib, koʻrilgan funksiyalar ketma-ketligi oraliqda aniqlangan va uzluksiz. Bu funksional ketma-ketlikni tekis yaqinlashuvchi ekanligini isbotlaymiz.
Ushbu funksional qatorni qaraylik
(2.25)
Uning - xususiy yigʻindisi va
boʻlib, yaqinlashuvchi.
Matematik analiz fanidagi Dalamber alomatining formulasi
Xulosa qilib shuni aytishimiz mumkinki sonli qatorni yaqinlashuvchiligidan Veyershtrass teoremasiga koʻra (2.25) funksional qator funksiyaga tekis yaqinlashuvchi va limit funksiyasi ham uzluksiz funksiya boʻladi.
Endigi bosqichda limit funksiya (2.1), (2.20) masalaning yechimi ekanligini isbotlaymiz. Buning uchun da
(2.26)
tenglikdan
(2.27)
tenglik kelib chiqishini isbotlash zarur.
Ravshanki,
ketma-ketlik funksiyaga tekis yaqinlashganligidan ixtiyoriy berilganda ham shunday nomer topiladiki boʻlganda
tengsizlik oʻrinli boʻladi.
Shuning uchun
yaʼni
tengsizlik oʻrinli, bundan
bu esa (2.26) tenglikdan (2.27) kelib chiqishini koʻrsatadi.
Yuqorida koʻrsatilgan isbotlardan qisqa qilib shuni aytish mumkin, (2.1), (2.20) oraliqda 1- lemmaga koʻra integral tenglamaga keltiriladi hamda bu integral tenglamaning yechimi ketma-ket yaqinlashish usuli yordamida mavjudligini va bu funksiya limit funksiya ekanligini koʻrsatiladi.
Endi (2.1), (2.20) Koshi masalasining yechimi mavjud boʻlsa, yagona ekanligini koʻrsatamiz.
Masala yechimining yagonaligi. Faraz qilaylik, (2.1), (2.20) masalasining ikkita yechimi mavjud boʻlsin. va uchun interval ularning umumiy aniqlanish intervali boʻlsin.
Shu intervalda ekanligini koʻrsatamiz. va yechim boʻlganligi uchun
.
Bundan interval uchun
,
yaʼni
.
Bu tengsizlikka Gronuoll lemmasini deb olib, qoʻllasak, u holda ekanligi kelib chiqadi, yaʼni lemmadagi funksiya sifatida ayirmani olib, lemmadagi tengsizlikda boʻlsa boʻladi yoki .
Biz uchun koʻrsatdik. Shunga oʻxshash uchun ham mulohaza yuritish mumkin. Shunday qilib, Pikar teoremasi toʻla isbot etildi.
Misol. Quyidagi Koshi masalasining yechimiga yaqinlashuvchi yechimi
ning birinchi uchta hadini toping.
Bunda
da
da
da
Demak, .
Bu yechim teorema shartiga koʻra faqat nuqtaning biror atrofida mavjud boʻladi. funksiya butun tekislikda aniqlangan va uzluksiz boʻlganligi uchun ixtiyoriy sohani, yaʼni va ni olish mumkin.
Unda boʻladi.
Yechim esa intervalda mavjud va yagona boʻladi.
XULOSA
Oddiy differensial tenglamalar juda keng tadbiqqa ega bo’lgan fanlardan biridir. Bu fanni amaliyotga tadbiq etish uchun avvalo differensial tenglamani yechimlarini aniqlashni bilish zarur. Fanning eng ko’p o’rganilgan bo’limi bu birinchi tartibli chiziqli differensial tenglamalardir. Ammo biz amaliy masalalarni matematik modelini tuzganimizda hamma vaqt ham birinchi tartibli differensial tenglama hosil bo’lmaydi. Lekin barcha diferensial tenglamalar ham birinchi tartibli chiziqli ko’rinishda bo’lavermaydi. Ko’p hollarda yuqori tartibli differensial tenglamalarni o’rganish zarurati paydo bo’ladi. Agarda bunday tenglamalarni tartibini pasaytirib birinchi tartibli differensial tenglamaga o’tib olsak, qaralayotgan masalani o’rganishimiz yengillashadi.
Ushbu kurs ishida hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar o`rganilgan bo`lib, unda hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar, tenglamaning yechimi, umumiy yechim, xususiy yechim, maxsus yechim tushunchalari yoritildi. Shu bilan birga differensial tenglamaning integrali tushunchasi berildi. Hosilaga nisbatan yechilgan oddiy differensial tenglama uchun Koshi masalasining qo`yilishi o`rganildi. Nazariy ma’lumotlarni kengroq tushuntirish maqsadida ko’plab misollar yechib ko’rsatildi.
FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
M.S.Salohitdinov, G.N.Nasriddinov. Oddiy differensial tenglamalar. T. O’qituvchi. 1992 y.
K.B.Boyqo’ziyev. Differensial tenglamalar. T. O’qituvchi. 1988 y.
Матвеев Н.М. Метод интегрирования обкновенных дифференциальных уравнений. Высшая школа. 1967г.
Y.P.Oppoqov, N.Turgunov, I.A.Gafarov. Oddiy differensial tenglamalardan misol va masalalar to’plami. – T.: “Voris-nashriyot”, 2009 y.
Internet saytlari
www.ziyonet.uz
www.edu.uz
Do'stlaringiz bilan baham: |
