Differensial tenglamalarni, unga aloqador barcha fanlarni nafaqat O’zbekiston, balki butun dunyo bor salohiyatini ishga solib o’rganadi

6-misol.
(2.9)
tenglamani olamiz. Unga funksiyasi mos keladi, va unga tepasi koordinatalar boshida bo'lgan parabola mos keladi, lekin unga , - ixtiyoriy doimiy, ko'rinishdagi har qanday funksiya ham mos keladi, ya'ni integral egri chiziqlar parabolalarning butun boshli oilasini tashkil qiladi (2-rasm).

2-rasm
Ularning hammasi umumiy bir xossaga ega: Har qanday integral egri chiziqning har bir nuqtasida urinmasining burchak koffitsienti ushbu nuqtaning abtsissasining ikki hissasiga teng: .
(2.1) differensial tenglama bilan belgilanuvchi maydon qiyalik burchagi bir xil bo'lgan egri chiziq ushbu tenglamaning izoklinasi deb ataladi. Izoklina tenglamasi
(2.10)
bu yerda — doimiy son.
7-misol. (2.9) tenglamaning izoklinanasi masalasini ko'rib chiqamiz. O’ng tarafni doimiy soniga tenglashtirib o’qiga paralel to'g'ri chiziqlar izoklina ekanligini ko'ramiz. Jumladan to'g'ri chizig'ining har bir nuqtasida maydon qiyaligi 1 ga teng, demak, ushbu to'g'ri chiziqni kesib o'tuvchi integral egri chiziqlar urinmalari o'qi bo'ylab musbat yo'nalishli burchak hosil qiladilar. Izoklinlarning yetarli darajada «zich» oilasini qo'llab biz (2.9) tenlamaning integral egri chiziqlari bo'yicha aniq tasavvurga ega bo'lishimiz mumkin. (3-rasm).

3-rasm
Agar (2.1) tenglamasida o'ng taraf musbat (manfiy) belgini saqlab qolsa, tenglamaning har qanday yechimi o'z nuqtasida ortadi (kamayadi), demak hamma integral egri chiziqlar yuqoriga (pastga) yo'naltirilgan bo'ladi. Har bir nuqtasidan integral egri chiziq o'tuvchi va oxirgisi (agar bu chiziq bilan mos kelmaydigan bo'lsa) bu nuqtada ekstremumga ega bo'lgan chiziq ekstremumlar chizig'i deb ataladi.
6-misolda ekstremumlar chizig'i, ya'ni minimumlar chizig'i, ravshanki, ( ) o'qidir, chunki unda , o'ng va chap tarafida esa mos ravishda manfiy va musbat belgilarga ega.
Agar (2.1) tenglama doirasidagi dan ikkinchi hosila ya'ni
(2.11)
funksiyasi musbat (manfiy) belgini saqlab qolsa, har qandayday integral egri chiziq tepaga (pastga) egilgan bo'ladi. Integral egri chiziqlar egrilgan nuqtalarga ega bo'lgan chiziqlar egrilik nuqta chiziqlari deb ataladi.
Yuqorida biz ko'rilyatgan hududning har bir nuqtasida cheklangan deb tasavvur qilganmiz. Shu bilan o'qiga paralel yo'nalishni cheklagan edik. Geometrik jihatdan bu cheklovni oqlab bo'lmaydi. Bu yo'nalishni ham hisobga olib, (2.1') tenglamani ham nuqtalari atrofida cheksizlikka aylanuvchi holatlarda ishlatgan holda ko’rib chiqamiz,
(2.1')
Agar (2.1) tenglamaning o’ng tomoni nuqtasida korinishdagi aniqmaslikka (ochilmaydigan) aylansa, (2.1') tenglamasining o’ng tarafi ham ushbu nuqtada ko’rinishdagi aniqmas ko’rinishga ega bo’ladi. Bu holatda biz ushbu nuqtada maydon aniqlanmagan va u orqali bir dona ham integral to’g’ri chiziq o’tmagan deb aytamiz. Bu yoki ko’rinishdagi integral egri chiziqlar mavjudligini cheklamaydi va ular quyidagi xossalarga ega bo’ladi
da (2.12)
yoki
da (2.13)
Ushbu integral to’g’ri chiziqlar haqida biz ular chegardosh deb aytamiz.