Differensial tenglamalarni, unga aloqador barcha fanlarni nafaqat O’zbekiston, balki butun dunyo bor salohiyatini ishga solib o’rganadi

I BOB. DIFFERENSIAL TENGLAMALAR HAQIDA UMUMIY TUSHUNCHALAR

1.1 Differensial tenglamalar haqida umumiy tushunchalar

1-ta’rif. Differensial tenglama deb, erkli o‘zgaruvchi , noma’lum funksiya va uning hosilalari orasidagi bog'lanishni ifodalaydigan tenglamaga aytiladi. Differensial tenglama umumiy holda quyidagicha yoziladi:

yoki

Agar izlanayotgan funksiya bitta erkli o'zgaruvchining funksiyasi bo‘lsa, u holda differensial tenglama oddiy differensial tenglama deyiladi.
Umuman, nom a’lum funksiya ko‘p argumentli bo‘lgan hollar ham tez-tez uchraydi. Bunday holda differensial tenglama xususiy hosilali differensial tenglama deb ataladi.
2-ta’rif. Differensial tenglamaning tartibi deb, tenglamada qatnashgan hosilaning eng yuqori tartibiga aytiladi.
Masalan, tenglama birinchi tartibli differensial tenglamadir.
Mana bu tenglama esa ikkinchi tartibli differensial tenglama.
3-ta’rif. Differensial tenglamaning yechimi yoki integrali deb, differensial tenglamaga qo‘yganda uni ayniyatga aylantiradigan har qanday funksiyaga aytiladi.
Masalan, ushbu tenglama berilgan bo‘lsin:

, , funksiyalar, umuman, , , ko'rinishdagi funksiyalar va o’zgarmas miqdorlarning har qanday qiymatlarida ham berilgan differensial tenglamaning yechimi bo‘ladi. Buning to’g’riligiga ko‘rsatilgan funksiyalarni berilgan tenglamaga qo‘yib ko'rib, ishonish mumkin.

1.2. Differensial tenglamaga olib keladigan ba’zi bir masalalar

1-misol: Faraz qilaylik, moddiy nuqta oʻqi bo’ylab harakat qilsin. Harakat funksiyasi boʻlsin. Bundan tashqari biror momentda uning abssissasi qiymatni qabul qilsin. Shu moddiy nuqtani harakat qonunini toping.
Bu masalaning matematik modeli

koʻrinish bilan ifodalanadi.
2-misol. Massasi bo‘lgan jism boshlang‘ich tezlik bilan biror balandlikdan tashlab yuborilgan. Jism tezligining o‘zgarish qonunini toping.
Nyutonning ikkinchi qonuniga ko‘ra: , bu yerda — jismga ta’sir etayotgan kuchlarning yig‘indisi. Jismga faqat ikkita kuch ta’sir etishi mumkin, deb hisoblaylik: havoning qarshilik kuchi , , yerning tortish kuchi . U holda ushbu

differensial tenglamaga kelamiz. Bu differensial tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimi

ekanligini bevosita o‘rniga qo‘yish bilan tekshirish qiyin emas.