Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari

Bu erda y(xk)=yk belgilash kiritsak

• Bu erda y(xk)=yk belgilash kiritsak
• uk+1=uk+ (2)
• Bu erda integral ostidagi funktsiyani [xk , xk+1] kesmada o’zgarmas x=xk nuqtada boshlang’ich qiymatga teng desak, Eyler formulasini hosil qilamiz:
•  
• uk+1= yk+ yk , yk=hf(xk,yk) (3)
• Ushbu jarayonni [a,b] ga tegishli bo’lgan har bir kesmachada takrorlasak, (1) ni yechimini ifodalovchi jadvalni tuzamiz..
• Eyler usulini differensial tenglamalar tizimini yechishni ham qo’llash mumkin. Quyidagi sistema uchun boshlang’ich masala berilgan bo’lsin:
• x=x0 da u=u0, z=z0 (4)

•  

(4) ning taqribiy yechimlari quyidagi formulalar bilan topiladi

• (4) ning taqribiy yechimlari quyidagi formulalar bilan topiladi
• ui+1=yi+ yi , zi+1=zi+ zi
• Bu erda
• ui=hf1(xi,yi,zi), zi=hf2(xi,yi,zi), (i==0,1,2,...)
• Misol. Eyler usuli bilan y’=y+(1+x)y2 , u(1)=-1 masalaning yechimi [1;1,5] kesmada h=0,1 qadam bilan topilsin.

Yechish. Masalani shartidan x0=1, u0=-1 topamiz va (7.4.3) Eyler formulasidan quyidagi jadvalni tuzamiz.

• Yechish. Masalani shartidan x0=1, u0=-1 topamiz va (7.4.3) Eyler formulasidan quyidagi jadvalni tuzamiz.

I	xi	yi	f(xi ,yi)	Aniq yechim
0	1	-1	1	-1
1	1,1	-0,9	0,801	-0,909091
2	1,2	-0,8199	0,659019	-0,833333
3	1,3	-0,753998	0,553582	-0,769231
4	1,4	-0,698640	0,472794	-0,714286
5	1,5	-0,651361		-0,666667

Jadvaldan taqribiy yechim va aniq yechim orasidagi farqlarni xam ko’rishimiz mumkin.

• Jadvaldan taqribiy yechim va aniq yechim orasidagi farqlarni xam ko’rishimiz mumkin.
• Bu usulni takomillashtirilgan ko’rinishlaridan biri Eyler-Koshi usulidir. Eyler-Koshi usuli yordamida esa taqribiy yechimlar quyidagi formulalar orqali xisoblanadi:
•  
• bu erda
• =
•  

•  

Runge – Kutta usuli

• Runge – Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge – Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali noma’lum funktsiyani xi+1 dagi qiymatini topish uchun uning xi dagi qiymati aniq bo’lishi etarli.
• Runge – Kutta usulini uning aniqlash darajasi bo’yicha bir nyecha usullarga ajratadilar. Shulardan amaliyotda eng ko’p qo’llanadigani to’rtinchi darajali aniqlikdagi Runge – Kutta usulidir.
• Birinchi tartibli differensial tenglama y’=f(x,y) uchun x=xi da y=yi (i=0,1,2, ...n) qiymatlar ma’lum bo’lsin. Bu erda “ui” boshlang’ich shart ma’nosida bo’lmasligi ham mumkin.

Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], xi=x0+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng “n” ta bo’lakka bo’lingan.

• Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], xi=x0+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng “n” ta bo’lakka bo’lingan.
• Noma’lum funktsiya “u” ni x=xi+1 dagi qiymati yi+1= y(xi+1) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo’ladi: