Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari

} (2.1)

•  

Funktsiyaning orttirmasi yi ni quyidagi formuladan topiladi

• Funktsiyaning orttirmasi yi ni quyidagi formuladan topiladi
•  
• Δyi=(K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)) / 6 (2.2)
• Bu erda h=(b-a)/n – integrallash qadami. i ni har bir qiymati uchun (2.1) va (3.2) dagi amallarni bajaramiz va noma’lum funktsiya “u” ni qiymatlarini (tenglamaning yechimini) quyidagi formuladan topamiz.

yi+1=yi+ yi , (i=0,1,2, ...n) (2.3)

• Runge – Kutta usuli bilan differensial tenglamani yechishda jadval tuzilsa hisoblash jarayoni birmuncha osonlashadi. Jadvalni tuzish tartibi quyidagicha:

•  

I. (2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bo’lgan qiymatlari yoziladi.

I. (2) va (3) ustunlarga x va u ning kerakli bo’lgan qiymatlari yoziladi.

• II. “x” va “u” larning qiymatlarini ((2)-va (3)-ustunlardan) u’=f(x,y) tenglamani o’ng tarafiga qo’yiladi va natijalarni (4) ustunga (satrlari mos ravishda) qo’yiladi.
• III. Topilgan f(x,y) qiymatlarini integrallash qadami “h” ga ko’paytiriladi va natijalar (5) ustunga yoziladi.
• IV. K1(0) ni 1 ga, K2(0) va K3(0) larni 2 ga, K4(0) ni 1 ga ko’paytirib ularni (6) ustunga yozamiz.
• I-IV jarayonni Ki ni (i=0,1,2, ...n) har bir qiymati uchun takrorlaymiz. (6)-ustunni qiymatlarining yig’indisini hisoblab, natijani 6 ga bo’lamiz va u=(1/6) (K1(i)+2 K2(i)+2 K3(i)+ K4(i)) ni
• topamiz. Va nihoyat yi+1=yi+ Δyi topiladi. Yuqorida keltirilgan hisoblash tartibini [a,b] kesmani barcha nuqtalari uchun takrorlaymiz.

	X	U	u’=f(x,y)	K=hf(x,y)	Δu
1	2	3	4	5	6
	x0	y0	f(x0 ,y0)	K1(0)	K1(0)
	x0+h/2	y0+K1(0)/2	f(x0+h/2; y0+K1(0)/2)	K2(0)	2K2(0)
0	x0+h/2	y0+K2(0)/2	f(x0+h/2; y0+K2(0)/2)	K3(0)	2K3(0)
	x0+h	y0+K3(0)	f(x0+h; y0+K3(0))	K4(0)	K4(0)
	x1	y1=y0+Δ y0	f(x1 ,y1)	K1(0)	K1(0)
	x1+h/2	y1+K1(1)/2	f(x1+h/2; y1+K1(1)/2)	K2(0)	2K2(0)
1	x1+h/2	y1+K2(1)/2	f(x1+h/2; y1+K2(1)/2)	K3(0)	2K3(0)
	x1+h	y1+K3(1)	f(x1+h; y1+K3(1))	K4(0)	K4(0)
2	x2	y2=y1+Δ y1

	X	U	u’=f(x,y)	K=hf(x,y)	Δu
1	2	3	4	5	6
	x0	y0	f(x0 ,y0)	K1(0)	K1(0)
	x0+h/2	y0+K1(0)/2	f(x0+h/2; y0+K1(0)/2)	K2(0)	2K2(0)
0	x0+h/2	y0+K2(0)/2	f(x0+h/2; y0+K2(0)/2)	K3(0)	2K3(0)
	x0+h	y0+K3(0)	f(x0+h; y0+K3(0))	K4(0)	K4(0)
	x1	y1=y0+Δ y0	f(x1 ,y1)	K1(0)	K1(0)
	x1+h/2	y1+K1(1)/2	f(x1+h/2; y1+K1(1)/2)	K2(0)	2K2(0)
1	x1+h/2	y1+K2(1)/2	f(x1+h/2; y1+K2(1)/2)	K3(0)	2K3(0)
	x1+h	y1+K3(1)	f(x1+h; y1+K3(1))	K4(0)	K4(0)
2	x2	y2=y1+Δ y1

Ketma-ket yaqinlashish usuli.

• Pikar usuli birinchi guruhga tegishli taqribiy usullardan bo’lib amaliy masalalarni yechishda qo’llash mumkin.
• Bizga, y’=f(x,y) (3.1)
• birinchi tartibli differensial tenglamaning u(x0)=u0 - boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi qo’yilsin. Differensial tenglamaning o’ng tomoni f(x,y) funktsiya {|x-x0| a; |y-y0| b} to’rtburchakda uzluksiz va «u» bo’yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsin.

•  

(3.1) dan

• (3.1) dan

dy=f(x,u)dx

• ifodani ikkala tomonini «x0» dan «x» gacha integrallasak

(3.2)

Bundan, boshlang’ich shartni hisobga olgan holda

y(x)= (3.3)

• Noma’lum funktsiya integral ifodasi ostida qatnashganligi uchun hosil bo’lgan (3.3) tenglamani integral tenglama deb ataladi.
• (3.3) da f(x,y) funktsiyadagi “u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u0”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u1(x) ni topamiz:
• (3.4)

•  

Endi (7.1.3) dagi f(x,y) funktsiyaning “u” o’rniga uni ma’lum qiymati “u1” ni qo’ysak ikkinchi yaqinlashish bo’yicha yechim “u2(x)” ni hosil qilamiz:

• Endi (7.1.3) dagi f(x,y) funktsiyaning “u” o’rniga uni ma’lum qiymati “u1” ni qo’ysak ikkinchi yaqinlashish bo’yicha yechim “u2(x)” ni hosil qilamiz:

dx (3.5)

• Ushbu jarayonni davom ettirsak

(3.6)

•  

Shunday qilib quyidagi funktsiyalar ketma-ketligini hosil qildik

• Shunday qilib quyidagi funktsiyalar ketma-ketligini hosil qildik

u1(x), u2(x), u3(x), ..., un(x), (3.7)

• Bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.
• Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:
• Teorema. Agar (x0;u0) nuqta atrofida f(x,y) funktsiya uzluksiz va chegaralangan xususiy hosilasi fy (x,y) mavjud bo’lsa, u holda Pikar {yi (x)} ketma-ketligi (3.1) tenglamaning yechimi bo’lgan va u(x0)= u0 shartni qanoatlantiruvchi u(x)
• funktsiyaga yaqinlashadi.
• Demak, differensial tenglamalarni yechishda ushbu teoremani shartlari bajarilsa (ya’ni (3.7) yaqinlashuvchi bo’lsa) Pikar usulini qo’llash mumkin. Agar (3.7) ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo’lsa, bu usulni qo’llash mumkin bo’lmaydi.
• Misol. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan tenglamaning x0=0 da u0=1 shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.
• Yechish. Tenglamani ikkala tomonini «x0» dan «x» gacha integrallasak
• y=1+

•  

“u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u0”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u1(x) ni topamiz:

• “u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u0”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u1(x) ni topamiz:

(3.5)ga asosan

Xuddi shuningdek u3 va u4 ni ham hisoblasak

•  

Berilgan misoldagi tenglama chiziqli birinchi tartibli differensial tenglama bo’lganligi sababli aniq yechimini topishimiz imkoni bor:

• Berilgan misoldagi tenglama chiziqli birinchi tartibli differensial tenglama bo’lganligi sababli aniq yechimini topishimiz imkoni bor:
• Bundan ko’rinadiki taqribiy yechimlar u3 va u4 aniq yechimdan faqat oxirgi hadlari bilan farq qiladilar. Yuqoridagi teorema shartlari bajarganligi sababli bu misol uchun Pikar algoritmi yaqinlashuvchi bo’ladi.

•  

FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR

• FOYDALANILGAN ADABIYOTLAR
• 1. Р.С.ГУТЕР, А. Р. ЯНПОЛЬСКИП “ДИФФЕРЕНСИАЛ ТЕНГЛАМАЛАР” O’ZBEKISTON Toshkent “O’qituvchi” 1978-yil
• 2. Abdullayev O.X «Differensial tenglamalar»

0’ZBEKISTON Buhoro 2009-yil

E’TIBORINGIZ UCHUN RAHMAT!