Differensial tenglamalarni taqribiy yechish usullari” mavzusida yozgan kurs ishi

1.4. Ketma-ket yaqinlashish usuli (Pikar algoritmi)
Pikar algoritmi analitik usullardan bo`lib amaliy masalalarni yechishda qo`llaniladi.
Faraz qilaylik,

differensial tenglamaning o`ng tomoni to`rtburchakda uzluksiz va y bo`yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo`lsin. tenglamaning da
_(1.4.2)
boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin. dan

bu ifodaning ikala tomonini dan gacha integrallasak,

Bundan hisobga olinsa,
(1.4.3)
da noma`lum funksiya integral ifodasi ostida qatnashganligi tufayli u integral tenglama deb ataladi. da funksiyadagi o`rniga uning ma`lum qiymati 0 ni qo`yib birinchi yaqinlashish bo`yicha yechimni topamiz:

Endi dagi funksiyadagi o`rniga uning ma`lum qiymati
ni qo`ysak, ikkinchi yaqinlashish bo`yicha yechim ni topamiz:

Ushbu jarayonni davom ettirsak,

Shunday qilib, quyidagi funktsiyalar ketma – ketligi ni tashkil qildik:

yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo`lishi mumkin. Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:
Teorema. Agar nuqta atrofida funksiyaning uzluksiz va chegaralangan xususiy hosilasi mavjud bo`lsa, u holda ketma –ketlik tenglamaning yechimi bo`lgan va shartni qanoatlantiruvchi funksiyaga yaqinlashadi.
Demak, differensial tenglamalarni yechishda ushbu teoremaning shartlari bajarilsa (ya`ni yaqinlashuvchi bo`lsa), Pikar usulini qo`llash mumkin. Agar uzoqlashuvchi bo`lsa, bu usulning ma`nosi bo`lmaydi.
Misol. Ketma – ket yaqinlashish usuli bilan (Pikar usuli) differensial tenglamaning da shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.
Yechish. bundan da ekanligini hisobga olsak,

(1.4.4) ga asosan,

(1.4.5) ga asosan,

va ni hisoblaymiz.


Berilgan tenglamaning aniq yechimi:

Bundan ko`rinadigan taqribiy yechimlar va aniq yechimdan faqat oxirgi hadlari
bilan farq qiladilar.